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9.如图,直线y=kx+4(k≠0)与x轴,y轴分别交于点B,A,直线y=-2x+1与y轴交于点C,与直线y=kx+4交于点D,△ACD的面积$\frac{3}{2}$.
(1)求直线AB的表达式;
(2)设点E在直线AB上,当△ACE是直角三角形时,请直接写出点E的坐标.

分析 (1)将x=0分别代入两个一次函数表达式中求出点A、C的坐标,进而即可得出AC的长度,再根据三角形的面积公式结合△ACD的面积即可求出点D的横坐标,利用一次函数图象上点的坐标特即可求出点D的坐标,由点D的坐标利用待定系数法即可求出直线AB的表达式;
(2)由直线AB的表达式即可得出△ACE为等腰直角三角形,分∠ACE=90°和∠AEC=90°两种情况考虑,根据点A、C的坐标利用等腰直角三角形的性质即可得出点E的坐标,此题得解.

解答 解:(1)当x=0时,y=kx+4=4,y=-2x+1=1,
∴A(0,4),C(0,1),
∴AC=3.
∵S△ACD=$\frac{1}{2}$AC•(-xD)=-$\frac{3}{2}$xD=$\frac{3}{2}$,
∴xD=-1.
当x=-1时,y=-2x+1=3,
∴D(-1,3).
将D(-1,3)代入y=kx+4,
-k+4=3,解得:k=1.
∴直线AB的表达式为y=x+4.
(2)∵直线AB的表达式为y=x+4,
∴△ACE为等腰直角三角形.
当∠ACE=90°时,∵A(0,4),C(0,1),AC=3,
∴E1(-3,1);
当∠AEC=90°时,∵A(0,4),C(0,1),AC=3,
∴E2(-$\frac{3}{2}$,$\frac{5}{2}$).
综上所述:当△ACE是直角三角形时,点E的坐标为(-3,1)或(-$\frac{3}{2}$,$\frac{5}{2}$).

点评 本题考查了两条直线相交或平行问题、一次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一次函数解析式、三角形的面积以及等腰直角三角形的性质,解题的关键是:(1)根据△ACD的面积找出点D的坐标;(2)分∠ACE=90°和∠AEC=90°两种情况,利用等腰直角三角形的性质找出点E的坐标.

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