Question

14．如图，点C是反比例函数y=$\frac{k}{x}$图象的一点，点C的坐标为（4，-1）．
（1）求反比例函数解析式；
（2）若一次函数y=ax+3与反比例函数y=$\frac{k}{x}$相交于A，C点，求点A的坐标；
（3）在x轴上是否存在一个点P，使得△PAC的面积为10，如果存在，求出点P的坐标，如果不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）把C（4，-1）代入y=$\frac{k}{x}$解方程即可得到结论；
（2）把C（4，-1）代入y=ax+3得到y=-x+3，解方程组即可得到结论；
（3）根据△PAC的面积为10，列方程$\frac{1}{2}$|x-3|×4+$\frac{1}{2}$|x-3|×1=10，即可得到结论．

解答 解：（1）把点C（4，-1）代入y=$\frac{k}{x}$，
∴k=-4，
∴反比例函数的解析式为y=-$\frac{4}{x}$；
（2）把C（4，-1）代入y=ax+3得：
-1=4a+3，解得a=-1，
∴y=-x+3，
∴$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{4}{x}}\\{y=-x+3}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{x=-1}\\{y=4}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=4}\\{y=-1}\end{array}\right.$，
∴点A的坐标为（-1，4）；
（3）存在． 理由：假设存在，设P点坐标为（x，0），
设直线AC与x轴交于点M
当y=0时，-x+3=0，x=3∴点M（3，0）
∵S_△PAC=10，
∴$\frac{1}{2}$（x-3）×4+$\frac{1}{2}$（x-3）×1，x=7，
或$\frac{1}{2}$（3-x）×4+$\frac{1}{2}$（3-x）×1=10，x=-1，
∴P点的坐标为（-1，0）或（7，0）．
故存在P点使得△PAC的面积为10．

点评 本题考查了反比例函数和一次函数图象的交点问题，反比例函数系数的几何意义，反比例函数图象上点的坐标特征，即过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得矩形面积为|k|，三角形的面积是$\frac{1}{2}$|k|．