Question

12．如图，点M（4，0），以点M为圆心，2为半径的圆与x轴交于点A、B，已知抛物线y=$\frac{1}{6}$x²+bx+c过点A和B，与y轴交于点C．
（1）求点C的坐标，并画出抛物线的大致图象．
（2）点P为此抛物线对称轴上一个动点，求PC-PA的最大值．
（3）CE是过点C的⊙M的切线，E是切点，CE交OA于点D，求OE所在直线的函数关系式．

Answer 1

分析 （1）根据待定系数法，可得函数解析式，根据自变量与函数值得对应关系，可得C点坐标；
（2）根据三角形三边的关系，可得PC-PA＜CA，根据线段的和差，可得答案；
（3）根据全等三角形的判定与性质，可得DO=DE，DC=DM，根据等腰三角形的性质，三角形的内角和，可得∠MCE=∠CEO，根据平行线的判定与性质，可得答案．

解答 解：（1）由题意，得
A（2，0），B（6，0）．
将A，B点坐标代入函数解析式，得
$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{6}×{2}^{2}+2b+c=0}\\{\frac{1}{6}×{6}^{2}+6b+c=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{b=-\frac{4}{3}}\\{c=2}\end{array}\right.$，
函数解析式为y═$\frac{1}{6}$x²-$\frac{4}{3}$x+2，
当x=0时，y=2，即C点坐标为（0，2），
图象如图1，

（2）由三角形的两边之差小于第三边，得
PC-PA＜CA，
当时P，A，C在同一条直线上时，PC-PA=AC$\sqrt{{2}^{2}+{2}^{2}}$=2$\sqrt{2}$，
即PC-PA的最大值是2$\sqrt{2}$；

（3）如图2，
连接MC，ME，
∵CE是过点C的⊙M的切线，E是切点，
∴∠MED=∠COD=90°．
在△CDO和△MED中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠C0D=∠MED}\\{∠CDO=∠MDE（对顶角相等）}\\{OC=ME=2}\end{array}\right.$，
∴△CDO≌△MED（AAS），
DO=DE，DC=DM，
∠DEO=∠DOE，∠MCD=∠CMD．
∵∠DEO=$\frac{180°-∠ODE}{2}$，∠MCD=$\frac{180°-∠CDM}{2}$，
∴∠MCE=∠CEO，
∴CM∥OE，
∵直线CM的解析式为y=-$\frac{1}{2}$x+2，
∴直线OE的解析式为y=-$\frac{1}{2}$x．

点评 本题考查了二次函数综合题，解（1）的关键是待定系数法；解（2）的关键是利用三角形三边的关系得出PC-PA＜CA，解（3）的关键是利用全等三角形的判定与性质得出DO=DE，DC=DM，又利用了三角形的内角和，平行线的判定与性质．