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如图,一条直线与反比例函数的图象交于A(1,4).B(4,n)两点,与轴交于D点,AC⊥轴,垂足为C.
小题1:如图甲,①求反比例函数的解析式;②求n的值及D点坐标.(4分)
小题2:如图乙,若点E在线段AD上运动,连结CE,作∠CEF=45°,EF交AC于F点.
①试说明△CDE∽△EAF的理由. (4分)
②当△ECF为等腰三角形时,直接写出F点坐标. (4分)

小题1:①∵点A(1,4)在反比例函数图象上
∴k=4
即反比例函数关系式为 ;
②∵点B(4,n)在反比例函数图象上
∴n=1
设一次函数的解析式为y=mx+b
∵点A(1,4)和B(4,1)在一次函数y=mx+b的图象上
∴ m+b="4" 4m+b=1 解得 m="-1" b=5  
∴一次函数关系式为y=-x+5
令y=0,得x=5
∴D点坐标为D(5,0);  (4分)
小题2:①证明:∵A(1,4),D(5,0),AC⊥x轴
∴C(1,0)
∴AC=CD=4,
即∠ADC=∠CAD=45°,
∵∠AEC=∠ECD+∠ADC=∠ECD+45°,
∠AEC=∠AEF+∠FEC=∠AEF+45°,
∴∠ECD=∠AEF,
△CDE和△EAF的两角对应相等,
∴△CDE∽△EAF.                        (4分)
②当CE=FE时,由△CDE≌△EAF可得AE=CD=4,DE=AF=
∵A(1,4),
∴F点的纵坐标=4-AF=4-=
∴F﹙1,
当CE=CF时,由∠FEC=45°知∠ACE=90°,此时E与D重合,
∴F与A重合,
∴F(1,4)
当CF=EF时,由∠FEC=45°知∠CFE=90°,显然F为AC中点,
∴F(1,2)
当△ECF为等腰三角形时,点F的坐标为F1(1,2);F2(1,4);F3(1, ) (4分)
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x (元)
3
4
5
6
y (个)
20
15
12
10
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