Question

如图甲，在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线交AB于N，交BC的延长线于M，∠A=40°．
（1）求∠NMB的大小．
（2）如图乙，如果将（1）中∠A的度数改为70°，其余条件不变，再求∠NMB的大小．
（3）根据（1）（2）的计算，你能发现其中的蕴涵的规律吗？请写出你的猜想并证明．
（4）如图丙，将（1）中的∠A改为钝角，其余条件不变，对这个问题规律的认识是否需要加以修改？请你把∠A代入一个钝角度数验证你的结论．

Answer 1

分析：（1）由在△ABC中，AB=AC，∠A=40°，根据等腰三角形的性质，即可求得∠B的度数，又由AB的垂直平分线交AB于N，交BC的延长线于M，即可求得∠NMB的大小．
（2）求解方法同（1）；
（2）由在△ABC中，AB=AC，根据等腰三角形的性质，即可用∠A表示出∠B，又由AB的垂直平分线交AB于N，交BC的延长线于M，即可求得∠NMB与∠A的关系．
（4）解题方法同（1）．

解答：解：（1）∵在△ABC中，AB=AC，∠A=40°，
∴∠B=∠ACB=

180°-∠A

2

=70°，
∵MN是AB的垂直平分线，
∴∠NMB=90°-∠B=20°；

（2）∵在△ABC中，AB=AC，∠A=70°，
∴∠B=∠ACB=

180°-∠A

2

=55°，
∵MN是AB的垂直平分线，
∴∠NMB=90°-∠B=35°；

（3）猜想：∠NMB=

1

2

∠A．
证明：∵在△ABC中，AB=AC，
∴∠B=∠ACB=

180°-∠A

2

=90°-

1

2

∠A，
∵MN是AB的垂直平分线，
∴∠NMB=90°-∠B=

1

2

∠A；

（4）不需要修改．
若∠A=100°，
∵在△ABC中，AB=AC，
∴∠B=∠ACB=

180°-∠A

2

=40°，
∵MN是AB的垂直平分线，
∴∠NMB=90°-∠B=50°=

1

2

∠A．

点评：此题考查了等腰三角形的性质与线段垂直平分线的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．