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    　　如图所示，已知等边△ABC和点P，设P到△ABC三边AB，AC，BC的距离分别为h1，h2，h3，△ABC的高为h．

    　　若点P在一边BC上，此时h3＝0，则可得结论：h1＋h2＋h3＝h(如图(1))．

    (1)

    请直接应用上述信息解决下列问题：

    当点P在△ABC内部(如图(2))，点P在△ABC外部(如图(3))这两种情况时上述结论是否还成立？若成立，请给予证明；若不成立，h1，h2，h3与h之间又有怎样关系？请写出你的猜想，不用证明．

    (2)

    若不应用上述信息，请探究其他的方法来证明你猜想的结论．

    答案：
    解析：

    (1)

    　　当点P在△ABC内部时，结论h1＋h2＋h3＝h仍成立．

    　　如图(2)，过P作NQ∥BC，分别交AB，AC，AM于N，Q，K．

    　　依题意有h1＋h2＝AK，KM＝PF＝h3，所以h1＋h2＋h3＝AK＋KM＝h．

    　　当点P在△ABC外部时，结论h1＋h2＋h3＝h不成立，它们的关系是h1＋h2－h3＝h．

    (2)

    　　如图(3)，连接PA，PB，PC，则

    　　S△ABC＝S△ABP＋S△APC－S△BPC，即BC·h＝AB·h1＋AC·h2－BC·h3．

    　　因为AB＝AC＝BC，所以h1＋h2－h3＝h．


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