Question

如图，已知扇形AOB，OA⊥OB，C为OB上一点，以OA为直线的半圆O₁与以BC为直径的半圆O₂相切于点D．
（1）若⊙O₁的半径为R，⊙O₂的半径为r，求R与r的比；
（2）若扇形的半径为12，求图中阴影部分面积．

Answer 1

分析：（1）如图，连接O₁O₂，就有O₁O₂=R+r，在直角三角形OO₁O₂中，由勾股定理就可以求出R与r的关系．
（2）由扇形的半径为12，实际上就是2R=12，R=6，就可以根据（1）的结论求出r，则阴影部分面积就等于扇形的面积减去两个半圆的面积就可以了．

解答：解：（1）连接O₁O₂，
∴O₁O₂=R+r，OO₂=2R-r，OO₁=R，在Rt△OO₁O₂中，由勾股定理，得
（R+r）²=R²+（2R-r）²
6r=4R，
∴

R

r

=

3

2

；

（2）∵2R=12，
∴R=6，
∴

6

r

=

3

2

，
∴r=4，
S_阴影=

1

4

π×144-

1

2

π×36-

1

2

π×16，
=36π-18π-8π
=10π．

点评：本题考查了相切两圆的性质，圆的面积的计算和扇形面积的计算．