Question

（2013•大兴区二模）已知：如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AB=

3

，AD=3，BC=4，以点D为旋转中心，将腰DC逆时针旋转α至DE．
（1）当α=90°时，连结AE，则△EAD的面积等于

3

2

（直接写出结果）；
（2）当0°＜α＜180°时，连结BE，请问BE能否取得最大值？若能，请求出BE的最大值；若不能，请说明理由；
（3）当0°＜α＜180°时，连结CE，请问α为多少度时，△CDE的面积是

3

．

Answer 1

分析：（1）作DH⊥BC于H，EG⊥AD交AD的延长线于G，则易得DH=AB=

3

，BH=AD=3，可计算出HC=1，再根据旋转的性质得到EG=HC=1，然后根据三角形面积公式计算；
（2）根据三角形任意两边之和大于第三边得到当B、D、E三点共线时，BE最大，然后利用勾股定理分别计算出DC、BD即可；
（3）讨论：当α为锐角时，过E点作EF⊥DC于F，利用三角形面积公式可计算出EF，然后根据正弦的定义得到sin∠EDF=

EF

DE

=

3

2

，则∠EDF=60°，则α=60°；
当α为钝角时，过E点作EF⊥DC交CD的延长线于F点，同样可得到∠EDF=60°，则可得到α为120°．

解答：解：（1）作DH⊥BC于H，EG⊥AD交AD的延长线于G，如图1，
∵AD∥BC，AB⊥BC，
∴四边形ABHD为矩形，
∴DH=AB=

3

，BH=AD=3，
∴HC=BC-BH=4-3=1，
∵以点D为旋转中心，将腰DC逆时针旋转90°至DE，即把Rt△DHC逆时针旋转90°得到Rt△DGE，
∴EG=HC=1，
∴S_△EAD=

1

2

AD•EG=

1

2

×3×1=

3

2

．

（2）BE能取得最大值，当B、D、E三点共线时，BE最大．
如图2，在Rt△DHC中，DH=

3

，HC=1，
∴DC=

DH2+HC2

=2，
∴DE=2，
在Rt△DBH中，BH=3，DH=

3

，
∴BD=

BH2+DH2

=2

3

，
∴BE=BD+DE=2

3

+2；

（3）当α为锐角时，过E点作EF⊥DC于F，如图3，
∵DC=DE=2，
∴S_△CDE=

1

2

×2•EF=

3

，
∴EF=

3

，
∴sin∠EDF=

EF

DE

=

3

2

，
∴∠EDF=60°，
∴α=60°，
当α为钝角时，过E点作EF⊥DC交CD的延长线于F点，如图4，
同样可得到∠EDF=60°，
∴α=180°-60°=120°，
∴α为60度或120度时，△CDE的面积是

3

．
故答案为

3

2

．

点评：本题考查了四边形的综合题：直角梯形的问题常常转化为矩形和直角三角形解决；会利用旋转的性质得到相等的角与边；熟练运用勾股定理和锐角三角函数进行几何计算．