如图①,已知∠ABC=90°,△ABE是等边三角形,点P为射线BC上任意一点(点P与点B不重合),连结AP,将AP绕点A逆时针旋转60°得到线段AQ,连结QE并延长交射线BC于点F。
(1)如图②,当BP=BA时,∠EBF= ,猜想∠QFC= ;(2分)
(2)如图①,当点P为射线BC上任意一点时,求证∠QFC=60°;(4分)
(3)已知线段AB=,设BP=,点Q到射线BC的距离为,求关于的函数关系式。(4分)
解:(1) 30°...............................1分
= 60°..................................1分
(2)不妨设BP>, 如图1所示
∵∠BAP=∠BAE+∠EAP=60°+∠EAP
∠EAQ=∠QAP+∠EAP=60°+∠EAP
∴∠BAP=∠EAQ..........................................2分
在△ABP和△AEQ中 AB=AE,∠BAP=∠EAQ, AP=AQ
∴△ABP≌△AEQ(SAS)
∴∠AEQ=∠ABP=90°...............................3分
∴∠BEF
∴=60°……………............4分
(事实上当BP≤时,如图2情形,不失一般性结论仍然成立,不分类讨论不扣分)
(3)在图1中,过点F作FG⊥BE于点G
∵△ABE是等边三角形 ∴BE=AB=,由(1)得30°
在Rt△BGF中, ∴BF=EF=2 .......1分
∵△ABP≌△AEQ ∴QE=BP= ∴QF=QE+EF................2分
过点Q作QH⊥BC,垂足为H,
在Rt△QHF中,60°,
∴(x>0)
即y关于x的函数关系式是:.......................................................4分
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