阅读材料:如图1,在△AOB中,∠O=90°,OA=OB,点P在AB边上,PE⊥OA于点E,PF⊥OB于点F,则PE+PF=OA.(此结论不必证明,可直接应用)
(1)【理解与应用】
如图2,正方形ABCD的边长为2,对角线AC,BD相交于点O,点P在AB边上,PE⊥OA于点E,PF⊥OB于点F,则PE+PF的值为 .
(2)【类比与推理】
如图3,矩形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,AB=4,AD=3,点P在AB边上,PE∥OB交AC于点E,PF∥OA交BD于点F,求PE+PF的值;
(3)【拓展与延伸】
如图4,⊙O的半径为4,A,B,C,D是⊙O上的四点,过点C,D的切线CH,DG相交于点M,点P在弦AB上,PE∥BC交AC于点E,PF∥AD于点F,当∠ADG=∠BCH=30°时,PE+PF是否为定值?若是,请求出这个定值;若不是,请说明理由.
解:(1)如图2,
∵四边形ABCD是正方形,
∴OA=OB=OC=OD,∠ABC=∠AOB=90°.
∵AB=BC=2,
∴AC=2.
∴OA=.
∵OA=OB,∠AOB=90°,PE⊥OA,PF⊥OB,
∴PE+PF=OA=.
(2)如图3,
∵四边形ABCD是矩形,
∴OA=OB=OC=OD,∠DAB=90°.
∵AB=4,AD=3,
∴BD=5.
∴OA=OB=OC=OD=.
∵PE∥OB,PF∥AO,
∴△AEP∽△AOB,△BFP∽△BOA.
∴,.
∴==1.
∴+=1.
∴EP+FP=.
∴PE+PF的值为.
(3)当∠ADG=∠BCH=30°时,PE+PF是定值.
理由:连接OA、OB、OC、OD,如图4.
∵DG与⊙O相切,
∴∠GDA=∠ABD.
∵∠ADG=30°,
∴∠ABD=30°.
∴∠AOD=2∠ABD=60°.
∵OA=OD,
∴△AOD是等边三角形.
∴AD=OA=4.
同理可得:BC=4.
∵PE∥BC,PF∥AD,
∴△AEP∽△ACB,△BFP∽△BDA.
∴,.
∴==1.
∴=1.
∴PE+PF=4.
∴当∠ADG=∠BCH=30°时,PE+PF=4.
科目:初中数学 来源: 题型:
如表是10支不同型号签字笔的相关信息,则这10支签字笔的平均价格是( )
型号 | A | B | C |
价格(元/支) | 1 | 1.5 | 2 |
数量(支) | 3 | 2 | 5 |
| A. | 1.4元 | B. | 1.5元 | C. | 1.6元 | D. | 1.7元 |
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科目:初中数学 来源: 题型:
下列事件中,必然事件是
A. 抛掷一枚硬币,正面朝上
B. 打开电视,正在播放广告
C. 体育课上,小刚跑完1000米所用时间为1分钟
D. 袋中只有4个球,且都是红球,任意摸出一球是红球
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科目:初中数学 来源: 题型:
如图的一座拱桥,当水面宽AB为12m时,桥洞顶部离水面4m,已知桥洞的拱形是抛物线,以水平方向为x轴,建立平面直角坐标系,若选取点A为坐标原点时的抛物线解析式是y=﹣(x﹣6)2+4,则选取点B为坐标原点时的抛物线解析式是 .
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