Question

如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC，BD相交于点E．若AE=4，CE=8，DE=3，梯形ABCD的高是，面积是54．求证：AC⊥BD．

Answer 1

证明见解析

解析试题分析：由AD∥BC，可证明△EAD∽△ECB，利用相似三角形的性质即可求出BE的长，过D作DF∥AC交BC延长线于F，则四边形ACFD是平行四边形，所以CF=AD，再根据勾股定理的逆定理证明BD⊥DF即可证明AC⊥BD。　
证明：∵AD∥BC，∴△EAD∽△ECB。
∴AE：CE=DE：BE。
∵AE=4，CE=8，DE=3，∴BE=6。
∵S_梯形=（AD+BC）×=54，∴AD+BC=15。
过D作DF∥AC交BC延长线于F，

则四边形ACFD是平行四边形，
∴CF=AD。∴BF=AD+BC=15。
在△BDF中，BD²+DF²=9²+12²=225，BF²=225，
∴BD²+DF²=BF²。∴BD⊥DF。
∵AC∥DF，∴AC⊥BD。