分析 (1)根据反比例函数的解析式求得m的值;
(2)根据直角三角形的外心是直角三角形的斜边的中点,由点A的坐标根据三角形的中位线定理可以求得点E,F的坐标,从而求得直线的解析式;
(3)根据反比例函数的解析式,得△BOK的面积是$\frac{3}{2}$.再根据点A的横坐标,知PC的长应是2.根据题意可以首先求得点C的坐标,再根据点P可能在点C的上方或下方进行分析.
解答 解:(1)把点(m,2)代入反比例函数y=$\frac{3}{x}$中,得m=$\frac{3}{2}$
(2)∵点A是EF的中点.又A($\frac{3}{2}$,2),
∴E(3,0),F(0,4)
把E,F代入,得$\left\{\begin{array}{l}{3k+b=0}\\{b=4}\end{array}\right.$.解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{4}{3}}\\{b=4}\end{array}\right.$,∴y=-$\frac{4}{3}$x+4
(3)存在:
理由:原直线绕点A旋转所得直线交y轴的正半轴于C,且OC=$\frac{1}{4}$OF,F(0,4)
得C(0,1)
∵B(xB,yB)在y=$\frac{3}{x}$上,则有xByB=3,
由题意有S△BOK=$\frac{1}{2}$×|xByB=$\frac{3}{2}$,
设y轴上点P(0,yP),满足S△PCA=S△BOK
①若点P在点C上方,
即y>1,有S△PCA=$\frac{1}{2}$|yP-1|×|xA|=$\frac{1}{2}$(y-1)×$\frac{3}{2}$=$\frac{3}{2}$
∴y=3,此时P(0,3);
②若点P在点C下方,即y<1,有S△PCA=$\frac{1}{2}$|yP-1|×|xA|=$\frac{1}{2}$(1-y)×$\frac{3}{2}$=$\frac{3}{2}$
∴y=-1,此时P(0,-1);
即:P(0,-3)或(0,-1).
点评 此题是反比例函数综合题,主要考查了待定系数法,三角形的中位线,三角形的面积的计算,求出直线l解析式解本题的关键,分两种情况计算是解本题的难点.
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