Question

8．如图，已知A（m，2）是直线l与双曲线y=$\frac{3}{x}$的交点．
（1）求m的值．
（2）若直线l分别与x轴、y轴交于E、F两点，并且A为EF的中点，试确定l的解析式．
（3）在双曲线上另取一点B，作BK⊥x轴于K，将（2）中的直线l绕点A旋转后所得的直线记为l′，若l′与y轴的正半轴交于点C，且OC=$\frac{1}{4}$OF，试问，在y轴上是否存在点P，使得S_△PCA=S_△BOK？若存在，求出P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据反比例函数的解析式求得m的值；
（2）根据直角三角形的外心是直角三角形的斜边的中点，由点A的坐标根据三角形的中位线定理可以求得点E，F的坐标，从而求得直线的解析式；
（3）根据反比例函数的解析式，得△BOK的面积是$\frac{3}{2}$．再根据点A的横坐标，知PC的长应是2．根据题意可以首先求得点C的坐标，再根据点P可能在点C的上方或下方进行分析．

解答 解：（1）把点（m，2）代入反比例函数y=$\frac{3}{x}$中，得m=$\frac{3}{2}$
（2）∵点A是EF的中点．又A（$\frac{3}{2}$，2），
∴E（3，0），F（0，4）
把E，F代入，得$\left\{\begin{array}{l}{3k+b=0}\\{b=4}\end{array}\right.$．解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{4}{3}}\\{b=4}\end{array}\right.$，∴y=-$\frac{4}{3}$x+4
（3）存在：
理由：原直线绕点A旋转所得直线交y轴的正半轴于C，且OC=$\frac{1}{4}$OF，F（0，4）
得C（0，1）
∵B（x_B，y_B）在y=$\frac{3}{x}$上，则有x_By_B=3，
由题意有S_△BOK=$\frac{1}{2}$×|x_By_B=$\frac{3}{2}$，
设y轴上点P（0，y_P），满足S_△PCA=S_△BOK
①若点P在点C上方，
即y＞1，有S_△PCA=$\frac{1}{2}$|y_P-1|×|x_A|=$\frac{1}{2}$（y-1）×$\frac{3}{2}$=$\frac{3}{2}$
∴y=3，此时P（0，3）；
②若点P在点C下方，即y＜1，有S_△PCA=$\frac{1}{2}$|y_P-1|×|x_A|=$\frac{1}{2}$（1-y）×$\frac{3}{2}$=$\frac{3}{2}$
∴y=-1，此时P（0，-1）；
即：P（0，-3）或（0，-1）．

点评 此题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法，三角形的中位线，三角形的面积的计算，求出直线l解析式解本题的关键，分两种情况计算是解本题的难点．