Question

14．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=8cm，AC=6cm，点P从点A出发，沿AC向点C以1cm/s的速度运动，点Q从点C出发沿CB向点B以2cm/s的速度运动，过点P作PD∥BC，交AB于点D，点P、Q同时出发，当其中一个点停止运动时，另一个点也随之停止运动．设P、Q的运动时间为t（s）（0＜t＜4）
（1）t为何值时，四边形PQBD为平行四边形？
（2）设四边形PQBD的面积为ycm²，求y与x的函数解析式
（3）是否存在某一时刻t，使S_{四边形PQBD}：S_△ABC=3：8？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）由t表示出PC及CQ的长，根据四边形PQBD为平行四边形可知∠PQC=∠ABC，故tan∠PQC=tan∠ABC，求出t的值即可；
（2）根据PD∥BC可得出△ADP∽△ABC，故$\frac{AP}{AC}$=$\frac{DP}{BC}$，由此可用t表示出DP的长，根据y=S_梯形BCPD-S_△PCQ即可得出结论；
（3）根据S_{四边形PQBD}：S_△ABC=3：8可直接得出t的值．

解答 解：（1）∵BC=8cm，AC=6cm，点P从点A出发，沿AC向点C以1cm/s的速度运动，点Q从点C出发沿CB向点B以2cm/s的速度运动，
∴PC=6-t，CQ=2t，
∵四边形PQBD为平行四边形，
∴∠PQC=∠ABC，
∴tan∠PQC=tan∠ABC，即$\frac{PC}{QC}$=$\frac{AC}{BC}$，即$\frac{6-t}{2t}$=$\frac{6}{8}$，解得t=$\frac{12}{5}$（秒）．
答：当t=$\frac{12}{5}$秒时，四边形PQBD为平行四边形；

（2）∵PD∥BC，
∴△ADP∽△ABC，
∴$\frac{AP}{AC}$=$\frac{DP}{BC}$，即$\frac{t}{6}$=$\frac{DP}{8}$，解得DP=$\frac{8t}{6}$，
∴y=S_梯形BCPD-S_△PCQ=$\frac{1}{2}$（$\frac{8t}{6}$+8）•（6-t）-$\frac{1}{2}$×2t×（6-t）=$\frac{1}{3}$t²-6t+24（0＜t＜4）；

（3）存在．
∵S_{四边形PQBD}：S_△ABC=3：8，S_△ABC=$\frac{1}{2}$×8×6=24，
∴S_{四边形PQBD}=$\frac{24×3}{8}$=9．
∵由（2）知，S_{四边形PQBD}=$\frac{1}{3}$t²-6t+24，
∴$\frac{1}{3}$t²-6t+24=9，解得t=3或t=15，不合题意，
∴当t=3时，使S_{四边形PQBD}：S_△ABC=3：8．

点评 本题考查的是四边形综合题，涉及到相似三角形的判定与性质、梯形及三角形的面积公式等知识，难度适中．