Question

14．一个正方形的周长与一个等腰三角形的周长相等，若等腰三角形的两边长为4$\sqrt{2}$和10$\sqrt{2}$，则这个正方形的对角线长为12．

Answer 1

分析 分两种情况：①当4$\sqrt{2}$是腰和10$\sqrt{2}$时，两边的和小于第三边，不能构成三角形，应舍去．②当4$\sqrt{2}$是底边和10$\sqrt{2}$是腰时，等腰三角形的周长就可以求出，进而可知正方形的周长、边长，就可以求出对角线长．

解答 解：①当4$\sqrt{2}$是腰长、10$\sqrt{2}$是底边长时，两边的和小于第三边，不能构成三角形，应舍去．
②当4$\sqrt{2}$是底边和10$\sqrt{2}$是腰时，
等腰三角形的周长是24$\sqrt{2}$，因而可得正方形的边长是6$\sqrt{2}$，
故这个正方形的对角线长是6$\sqrt{2}$÷cos45°=12；
故答案为：12．

点评 本题主要考查二次根式应用，是一个已知等腰三角形的边长求周长问题，需要进行讨论，同时应该考虑到三角形的三边关系定理，这是解决这类问题容易忽视的一点．