Question

如图，点C是线段BD的中点，在BD的同侧分别等边△ABC和等边△CDE，点F是DE的中点，BF分别交AC、CE于G、H两点．
（1）请写出图中各对相似三角形（相似比为1除外）；
（2）求BG：GH：HF．

Answer 1

分析：（1）由△ABC和△CDE是等边三角形，可得∠ACB=∠D=∠ABC=∠ECD=60°；又由同位角相等，两直线平行，可得AC∥ED，EC∥AB；根据平行于三角形一边的直线与三角形另两边或另两边的延长线所构成的三角形与原三角形相似，可得△ABG∽△CHG，△EFH∽△CGH，△BCG∽△BDF；又由相似三角形的传递性，可得△ABG∽△EHF；
（2）根据相似三角形的对应边成比例，可得

BG

BF

=

CG

DF

=

BC

BD

，

CG

EF

=

GH

HF

；又由点C是线段BD的中点，点F是DE的中点，即可求得BG：GH：HF=3：1：2．

解答：解：（1）∵△ABC和△CDE是等边三角形，
∴∠ACB=∠D=∠ABC=∠ECD=60°，
∴AC∥ED，EC∥AB，
∴△ABG∽△CHG，△EFH∽△CGH，△BCG∽△BDF，
∴△ABG∽△EHF，

（2）∵△EFH∽△CGH，△BCG∽△BDF，
∴

BG

BF

=

CG

DF

=

BC

BD

，

CG

EF

=

GH

HF

，
∵点C是线段BD的中点，
∴

BG

BF

=

CG

DF

=

1

2

，
∵点F是DE的中点，
∴DF=EF，
∴

CG

EF

=

GH

HF

=

1

2

，
∴BG：GH：HF=3：1：2．

点评：此题考查了等边三角形的性质，相似三角形的判定定理与性质．此题图形比较复杂，解题时要注意仔细识图，注意数形结合思想的应用．