Question

15．如图，在平行四边形ABCD中．AC、BD相交于点O．已知AB=AC．∠ABC=60°
（1）求证：?ABCD是菱形；
（2）若BD=4$\sqrt{3}$，求四边形ABCD的周长．

Answer 1

分析 （1）先判定△ABC是等边三角形，再根据等边三角形的三条边都相等可得AB=BC，然后根据邻边相等的平行四边形是菱形证明；
（2）根据菱形的对角线互相垂直平分可得AC⊥BD，OB=OD，再根据三角函数求出BCAB，即可得出四边形的周长．

解答 （1）证明：∵AB=AC，∠ABC=60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AB=BC，
∴平行四边形ABCD是菱形；

（2）解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC=CD=AD，AC⊥BD，OB=OD=$\frac{1}{2}$BD=2$\sqrt{3}$，∠ABO=$\frac{1}{2}$∠ABC=30°，
∴cos∠ABO=$\frac{OB}{AB}$，
∴AB=$\frac{OB}{cos30°}$=$\frac{2\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$=4，
∴四边形ABCD的周长=4×4=16．

点评 本题考查了菱形的判定，等边三角形的判定与性质，平行四边形的性质；判定出△ABC是等边三角形是解题的关键，也是本题的突破口．