Question

某数学兴趣小组开展了一次活动，过程如下：设∠BAC=θ（0°<θ<90°）现把小棒依次摆放在两射线AB、AC之间，并使小棒两端分别落在两射线上，
活动一：如图甲所示，从点A₁开始，依次向右摆放小棒，使小棒与小棒在两端点处互相垂直，A₁A₂为第1根小棒，数学思考：   
（1）小棒能无限摆下去吗？答：（     ）（填“能”或“不能”）
（2）设AA₁= A₁A₂= A₂A₃=1.    
 ①θ=（     ）；  
 ②若记小棒A_2n-1A_2n的长度为a_n（n 为正整数，如A₁A₂ =a，A₃A₄=a₂），
求此时a₂，a₃ 的值，并直按写出a_n（用含n 的式子表示）                           
活动二：如图乙所示，从点A₁开始，用等长的小棒依次向右摆放，其中A_lA₂为第1根小棒，
且A_lA₂=AA₁ ，数学思考：    
（3）若已经向右摆放了3根小棒，则θ₁ =（     ）；θ₂ =（     ）；θ₃ =（     ）；（用含θ的式子表示）
（4）若只能摆放4根小棒，求θ的范围。

图甲

Answer 1

解：（1）能    
（2）①22.5°
②∵AA₁= A_lA₂= A₂A₃= 1，A_lA₂⊥A₂A₃,    
∴A_lA₃=，AA₃=1+
又∵ A₂A₃⊥A₃A₄,
∴A_lA₂ // A₃A₄
同理A₃A₄// A₅A₆
∴∠A= ∠AA₂A₁=∠AA₄A₃=∠AA₆A₅
∴AA₃= A₃A₄，AA₅=A₅A₆
∴a₂= A₃A₄=AA₃=1+
a₃ =AA₃+ A₃A₅= a₂+A₃A₅
∵A₃A₅ =a₂ 
∴ a₃ =A₅A₆ = AA₅ = a₂+a₂ =（+1）²。