如图.抛物线y=ax2-2ax+8分别交x轴于点A.B.交y轴于点C.AB=6．(1)求a的值,(2)点D为抛物线的顶点.点Q在线段BD上.过点Q作QH⊥x轴于点H.在HQ的延长线上取点N.连接BN.在x轴上点H的左侧取点M.连接QM.且MH=6.若tan∠NBH-tan∠MQH=3.求QN的长,的条件下.在AD上取点P.使得AP=DQ.若∠DPQ+∠PQB=90°.求点P的坐标.并判断此时点N� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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2．如图，抛物线y=ax²-2ax+8分别交x轴于点A，B（点A在点B左侧），交y轴于点C，AB=6．
（1）求a的值；
（2）点D为抛物线的顶点，点Q在线段BD上，过点Q作QH⊥x轴于点H，在HQ的延长线上取点N，连接BN，在x轴上点H的左侧取点M，连接QM，且MH=6，若tan∠NBH-tan∠MQH=3，求QN的长；
（3）在（2）的条件下，在AD上取点P，使得AP=DQ，若∠DPQ+∠PQB=90°，求点P的坐标，并判断此时点N是否在抛物线上．

分析（1）先求出A、B坐标，利用待定系数法即可解决问题．
（2）如图1中，先求出直线BD的解析式为：y=-3x+12，设Q（a，-3a+12），则BH=4-a，QH=-3a+12，根据tan∠NBH-tan∠MQH=3列出方程求出a，求出NH、HQ即可解决问题．
（3）如图2中，作DF⊥AB于F，AM⊥BD于M，NQ⊥BD交AD于N，PE⊥AB于E，首先证明NP=NQ，设DQ=AP=a，由此列出方程求出a，即可求出点P、Q坐标解决问题．

解答解：（1）∵对称轴x=-$\frac{-2a}{2a}$=1，且AB=6，
∴A（-2，0），B（4，0），
∵把B（4，0）代入抛物线y=ax²-2ax+8中得：16a-8a+8=0，
∴a=-1；
（2）如图2中，抛物线解析式为：y=-x²+2x+8，
y=-（x²-2x+1-1）+8=-（x-1）²+9，
则顶点D（1，9），
设直线BD的解析式为：y=kx+b，
把B（4，0），D（1，9）代入y=kx+b中得：$\left\{\begin{array}{l}{4k+b=0}\\{k+b=9}\end{array}\right.$
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-3}\\{b=12}\end{array}\right.$，
则直线BD的解析式为：y=-3x+12，
设Q（a，-3a+12），则BH=4-a，QH=-3a+12，
∵tan∠NBH-tan∠MQH=3，
∴$\frac{NH}{4-a}$-$\frac{6}{-3a+12}$=3，
∴NH=-3a+14，
∴QN=NH-QH=（-3a+14）-（-3a+12）=2；
（3）如图2中，作DF⊥AB于F，AM⊥BD于M，NQ⊥BD交AD于N，PE⊥AB于E．
∵∠DPQ+∠PQB=90°，∠PQB=∠DPQ+∠PDQ，
∴2∠DPQ+∠PDQ=90°．
∵∠PDQ+∠DNQ=90°，
∴∠DNQ=2∠DPQ=∠DPQ+∠NQP，
∴∠NPQ=∠NQP，
∴NP=NQ，设DQ=AP=a，
∵DA=DB．DF⊥AB，
∴AF=FB=3，∵DF=9
∴DA=DB=3$\sqrt{10}$，
∵$\frac{1}{2}$•AB•DF=$\frac{1}{2}$•AM•DB，
∴AM=$\frac{DF•AB}{DB}$=$\frac{9}{5}$$\sqrt{10}$，DM=$\sqrt{A{D}^{2}-A{M}^{2}}$=$\frac{12}{5}$$\sqrt{10}$，
∵NQ∥AM，
∴$\frac{NQ}{AM}$=$\frac{DQ}{DM}$=$\frac{DN}{AD}$，
∴NQ=$\frac{3}{4}$a，DN=$\frac{5}{4}$a，
∵PN=NQ，
∴3$\sqrt{10}$-a-$\frac{5}{4}$a=$\frac{3}{4}$a，
∴a=$\sqrt{10}$，
∵PE∥DF，
∴$\frac{PE}{DF}$=$\frac{AP}{AC}$=$\frac{AO}{AF}$，
∴AO=1，PO=3，
∴点P坐标（-1，3），
∵QH∥DF，
∴$\frac{QH}{DF}$=$\frac{BQ}{DB}$=$\frac{BH}{BF}$
∴$\frac{QH}{9}$=$\frac{2\sqrt{10}}{3\sqrt{10}}$=$\frac{BH}{3}$
∴QH=6，BH=2，
∴点Q坐标（2，6），点N坐标（2，8），
∵抛物线解析式为：y=-x²+2x+8，
∴x=2时，y=8，
∴点N在抛物线上．

点评本题考查二次函数综合题、一次函数、锐角三角函数、勾股定理、面积法等知识，解题的关键是学会利用参数，构建方程解决问题，学会添加常用辅助线，需要熟练应用平行线分线段成比例定理，属于中考压轴题．

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