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    （2012•乐山）如图1，△ABC是等腰直角三角形，四边形ADEF是正方形，D、F分别在AB、AC边上，此时BD=CF，BD⊥CF成立．
    （1）当正方形ADEF绕点A逆时针旋转θ（0°＜θ＜90°）时，如图2，BD=CF成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
    （2）当正方形ADEF绕点A逆时针旋转45°时，如图3，延长BD交CF于点G．
    ①求证：BD⊥CF；
    ②当AB=4，AD=
    		2
    时，求线段BG的长．
    分析：（1）△ABC是等腰直角三角形，四边形ADEF是正方形，易证得△BAD≌△CAF，根据全等三角形的对应边相等，即可证得BD=CF；
    （2）①由△BAD≌△CAF，可得∠ABM=∠GCM，又由对顶角相等，易证得△BMA∽△CMG，根据相似三角形的对应角相等，可得BGC=∠BAC=90°，即可证得BD⊥CF；
    ②首先过点F作FN⊥AC于点N，利用勾股定理即可求得AE，BC的长，继而求得AN，CN的长，又由等角的三角函数值相等，可求得AM=
    1
    3
    AB=
    4
    3
    ，然后利用△BMA∽△CMG，求得CG的长，再由勾股定理即可求得线段BG的长．
    解答：解（1）BD=CF成立．
    理由：∵△ABC是等腰直角三角形，四边形ADEF是正方形，
    ∴AB=AC，AD=AF，∠BAC=∠DAF=90°，
    ∵∠BAD=∠BAC-∠DAC，∠CAF=∠DAF-∠DAC，
    ∴∠BAD=∠CAF，
    在△BAD和△CAF中，
    AB=AC
    ∠BAD=∠CAF
    AD=AF

    ∴△BAD≌△CAF（SAS）．
    ∴BD=CF．…（3分）

    （2）①证明：设BG交AC于点M．
    ∵△BAD≌△CAF（已证），
    ∴∠ABM=∠GCM．
    ∵∠BMA=∠CMG，
    ∴△BMA∽△CMG．
    ∴∠BGC=∠BAC=90°．
    ∴BD⊥CF．…（6分）

    ②过点F作FN⊥AC于点N．
    ∵在正方形ADEF中，AD=DE=
    		2
    ，
    ∴AE=
    		AD2+DE2
    =2，
    ∴AN=FN=
    1
    2
    AE=1．
    ∵在等腰直角△ABC 中，AB=4，
    ∴CN=AC-AN=3，BC=
    		AB2+AC2
    =4
    		2
    ．
    ∴在Rt△FCN中，tan∠FCN=
    FN
    CN
    =
    1
    3
    ．
    ∴在Rt△ABM中，tan∠ABM=
    AM
    AB
    =tan∠FCN=
    1
    3
    ．
    ∴AM=
    1
    3
    AB=
    4
    3
    ．
    ∴CM=AC-AM=4-
    4
    3
    =
    8
    3
    ，BM=
    		AB2+AM2
    =
    4
    		10
    3
    ．…（9分）
    ∵△BMA∽△CMG，
    ∴
    BM
    BA
    =
    CM
    CG
    ．
    ∴
    4
    		10
    3
    4
    =
    8
    3
    CG
    ．
    ∴CG=
    4
    		10
    5
    ．…（11分）
    ∴在Rt△BGC中，BG=
    		BC2-CG2
    =
    8
    		10
    5
    ．…（12分）
    点评：此题考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、矩形的性质、勾股定理以及三角函数等知识．此题综合性很强，难度较大，注意数形结合思想的应用，注意辅助线的作法．
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    		2
    ．
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    		3
    千米的A处；经过40分钟，又测得该轮船位于O的正北方向，且与O相距20千米的B处．
    （1）求该轮船航行的速度；
    （2）如果该轮船不改变航向继续航行，那么轮船能否正好行至码头MN靠岸？请说明理由．（参考数据：
    		2
    ≈1.414    ，
    		3
    ≈1.732    ）

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