Question

13．如图，在△ABC中，AC=BC，CD是边AB上的高线，且有2CD=3AB=6，CE=EF=DF，则下列判断中不正确的是（　　）

• A． ∠AFB=90°
• B． BE=$\sqrt{5}$
• C． △EFB∽△BFC
• D． ∠ACB+∠AEB=45°

Answer 1

分析 由于AC=BC，CD是AB边上的高线，可知BD=1，且CD是AB的垂直平分线，利用2CD=3AB，易求CD=3，再利用垂直平分线的定理易求∠ACB=2∠BCE，∠AEB=2∠BEF，求出CE=EF=DF=1，易证△DBF是等腰直角三角形，再利用勾股定理可求BF=$\sqrt{2}$，可求$\frac{EF}{BF}$=$\frac{BF}{CF}$，而夹角相等易证△EFB∽△BFC，那么有∠FBE=∠BCF，∠FEB=∠FBC，结合三角形外角的性质易证∠ACB+∠AEB=90°．

解答 解：∵AC=BC，CD是AB边上的高线，3AB=6，
∴BD=AD=$\frac{1}{2}$AB=1，CD是AB的垂直平分线，
又∵2CD=3AB=6，AE=BE，AF=BF，
∴CD=3，∠ACB=2∠BCE，∠AEB=2∠BEF，
∵CE=EF=DF，
∴CE=EF=DF=1，
∴DF=DB=1，
又∵∠CDB=90°，
∴BE=$\sqrt{{2}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{5}$，选项B正确，
△DBF、△DFA是等腰直角三角形，
∴∠DFB=∠DFA=45°，BF=$\sqrt{2}$，
∴∠AFB=90°，选项A正确，
$\frac{EF}{BF}$=$\frac{1}{\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{BF}{CF}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，∴$\frac{EF}{BF}$=$\frac{BF}{CF}$，
又∵∠EFB=∠BFC，
∴△EFB∽△BFC，选项C正确，
∴∠FBE=∠BCF，∠FEB=∠FBC，
又∵∠DFB=∠FBE+∠FEB=∠FCB+∠FBC，
∴45°=∠FBE+∠FEB，
∴90°=2∠FBE+2∠FEB=2∠BCF+2∠FBC，
∴∠ACB+∠AEB=90°，选项D错误．
故选D．

点评 本题考查了等腰三角形的性质、勾股定理、等腰直角三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、三角形外角的性质、线段垂直平分线的定理．关键是证明△EFB∽△BFC．