Question

【题目】在矩形ABCD中，AB＝2，∠ACB＝30°，将矩形ABCD绕点A逆时针方向旋转，得到矩形AB′C′D′，记旋转角为α（0＜α＜90°）．

（I）如图①，当B'C'过点D时，求△ADC'的面积S的值；

（Ⅱ）如图②，当点B的对应点B'落在AC上时，在B′C′上取点E，使B'E＝AB．

①求∠EBB'的大小；

②求BE的长（直接写出结果即可）．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）S△ADC′＝2﹣2；（Ⅱ）①∠BEB′＝15°；②BE＝.

【解析】

（Ⅰ）如图①中，解直角三角形求出DB′，根据S△ADC′＝S△AB′C′﹣S△ADB′，计算即可．

（Ⅱ）①证明△ABB′是等边三角形，利用圆周角定理即可解决问题．

②如图②中，作EH⊥BB′交BB′于H．解直角三角形求出EH，BH，利用勾股定理即可解决问题．

解：（Ⅰ）如图①中，

在Rt△ABC中，∵∠B＝90°，AB＝2，∠ACB＝30°，

∴AC＝2AB＝4，，

在Rt△ADB′中，，

∴

（Ⅱ）①如图②中，连接AE．

∵AB＝AB′，∠BAB′＝60°，

∴△ABB′是等边三角形，

∴B′A＝B′B＝B′E，∠AB′B＝60°，

∴点B′是△ABE的外接圆的圆心，

∴，

∵∠AB′E＝90°，B′A＝B′E，

∴∠AEB′＝45°，

∴∠BEB′＝45°﹣30°＝15°．

②如图②中，作EH⊥BB′交BB′于H．

∵B′E＝B′B，

∴∠B′BE＝∠B′EB＝15°，

∴∠EB′H＝30°，

∴EH＝EB′＝1，HB′＝，

∴．