Question

17．已知点E在等边△ABC的边AB上，点P在射线CB上，AE=BP
（1）如图1，求证：AP=CE；
（2）如图2，求证：PE=EC；
（3）如图3，若AE=2BE，延长AP至点M使PM=AP，连接CM，求证：CM=CE；

Answer 1

分析 （1）根据等边三角形的性质和全等三角形的判定和性质证明即可；
（2）在AC上截取AM=AE，连接EM，利用全等三角形的判定和性质解答即可；
（3）在PB上截取PN=PC，利用全等三角形的判定和性质解答即可．

解答 证明：（1）∵等边△ABC，
∴AB=AC，∠BAC=∠B=60°，
在△ABP与△CAE中，$\left\{\begin{array}{l}{AE=BP}\\{∠BAC=∠B}\\{AB=AC}\end{array}\right.$，
∴△ABP≌△CAE（SAS），
∴AP=CE；
（2）在AC上截取AM=AE，连接EM，如图2：

∵AM=AE，∠A=60°，
∴△AEM是等边三角形，
∴BE=AB-AE=AC-AM=CM，
∴EM=AE=PB，∠EMC=∠EBP=120°，
在△PBE与△EMC中，
$\left\{\begin{array}{l}{PB=EM}\\{∠EMC=∠EBP}\\{EB=MC}\end{array}\right.$，
∴△PBE≌△EMC（SAS），
∴PE=CE；
（3）在PB上截取PN=PC，如图3：

在△MPC与△NPA中，
$\left\{\begin{array}{l}{PN=PC}\\{∠MPC=∠APN}\\{PM=PA}\end{array}\right.$，
∴△MPC≌△NPA（SAS），
∴MC=AN，
∵AE=2BE，由（1）得BP=2PC，
由BP=BN+PN=BN+PC=2PC，
∴BN=PC，
在△ABN与△ACP中，
$\left\{\begin{array}{l}{BN=PC}\\{∠ABN=∠ACB=60°}\\{AB=AC}\end{array}\right.$，
∴△ABN≌△ACP，
（SAS），
∴AP=AN，
∵AP=EC，MC=AN，
∴CM=CE．

点评 此题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．