Question

设a为整数，使得关于x的方程ax²-（a+5）x+a+7=0至少有一个有理根，试求方程所有可能的有理根．

Answer 1

分析：首先从特殊值入手，a=0，求出x的值，再利用求根公式确定a的取值，从而确定x的取值．

解答：解：当a=0时，方程的有理根为x=

7

5

；
当a≠0时，此时原方程为一元二次方程，
由判别式（a+5）²-4a（a+7）≥0，
即3a²+18a-25≤0，得

-9- 156

3

≤a≤

-9+ 156

3

，整数a只能在其中的非零整数1，-1，-2，-3，-4，-5，-6，-7中取值
由方程得x=

a+5± 52-3(a+3)2

2a

（1）
当a=1，由（1）得x=2和4；当a=-1时，方程无有理根；
当a=-2，由（1）得x=1和-

5

2

；当a=-3时，方程无有理根；
当a=-4，由（1）得x=-1和

3

4

；当a=-5时，方程无有理根；
当a=-6，由（1）得x=

1

2

和-

1

3

；当a=-7时，由（1）得x=

3

7

和-

1

7

．

点评：此题主要考查了一元二次方程整数解的情况，以及分类讨论思想的应用．