Question

14．如图，正方形ABCD的边长为5，E是AB上一点，且BE：AE=1：4，若P是对角线AC上一动点，则PB+PE的最小值是$\sqrt{41}$．（结果保留根号）

Answer 1

分析 连接BD，则点D即为点B关于AC的对称点，连接DE交AC于点P，根据两点之间线段最短可知，点P即为所求，根据勾股定理求出DE长，即可得出答案．

解答 解：连接BD，
则点D即为点B关于AC的对称点，连接DE交AC于点P，
由对称的性质可得，PB=PD，故PE+PB=DE，
由两点之间线段最短可知，DE即为PE+PB的最小值，
∵AB=AD=5，BE：AE=1：4
∴BE=1，AE=4，
在Rt△ADE中，
DE=$\sqrt{A{D}^{2}+A{E}^{2}}$=$\sqrt{{5}^{2}+{4}^{2}}$=$\sqrt{41}$．
故答案为：$\sqrt{41}$．

点评 本题考查的是最短路线问题及正方形的性质、勾股定理，能求出P点的位置是解此题的关键，有一定的综合性，但难易适中．