如图a、b在平行四边形ABCD中，∠BAD，∠ABC的平分线AF，BG分别与线段CD两侧的延长线（或线段CD）相交于点F，G，AF与BG相交于点E．
（1）在图a中，求证：AF⊥BG，DF=CG；
（2）在图b中，仍有（1）中的AF⊥BG，DF=CG成立．请解答下面问题：
①若AB=10，AD=6，BG=4，求FG和AF的长；
②是否能给平行四边形ABCD的边和角各添加一个条件，使得点E恰好落在CD边上且△ABE为等腰三角形？若能，请写出所给条件；若不能，请说明理由．

（1）证明：如图：
∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，
∴∠BAD+∠ABC=180°，
又AF、BG是∠BAD与∠ABC的角平分线，
∴∠BAE+∠ABE=90°，
∴AF⊥BG．
∵AD∥BC，∴∠AMB=∠CBG，
又BG是∠ABC的角平分线，
∴∠ABG=∠CBG，
∴AB=AM，
又AB∥DC，
∴∠ABM=∠G，又∠AMB=∠GMD，
∴∠G=∠GMD，
∴DM=DG，即△GDM为等腰三角形，
同理可得△NCF为等腰三角形；
∵DF-CD=CG-CD，即DF=CG

（2）解：①由已知可得，AF、BG仍是∠BAD与∠ABC的角平分线，且CF=GD，
∴FD=AD=6，
∴CF=10-6=4=GD，
∴FG=FD-GD=6-4=2．
可得，Rt△EFG∽Rt△EAB，
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∵BG=4，
∴GE= $\text{[math]}$ ，BE= $\text{[math]}$ ，
则在直角三角形EFG中，根据勾股定理得：EF= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
在直角三角形ABE中，根据勾股定理得：AE= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
勾股定理可得AF=EF+AE=8 $\text{[math]}$ ；

②AB=2AD，∠A=90°．
若使点E恰好落在CD边上且△ABE为等腰三角形，
∵AF、BG是∠BAD与∠ABC的角平分线，
∴只能使其角为直角，即∠A=90°，
而由（1）、（2）可得，边长则需满足1：2的关系，即AB=2AD．
分析：（1）由平行线的性质及角平分线的性质即可证明结论；
（2）①由平行线的性质可得相似三角形，得出各边的长，进而再求解直角三角形即可；
②根据（1）、（2）的条件，满足点E恰好落在CD边上且△ABE为等腰三角形即可．
点评：本题主要考查平行四边形的性质，等腰三角形及勾股定理和相似三角形的运用，应熟练掌握．

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6、如图，在平行四边行ABCD中，DE平分∠ADC交BC边于点E，已知BE=4cm，AB=6cm，则AD的长度是（　　）

A、4cm

B、6cm

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如图所示，在矩形ABCD中AB=12，AC=20，两条对角线相交于点O．以OB、OC为邻边作第1个平行四边形OBB₁C，对角线相交于点A₁；再以A₁B₁、A₁C为邻边作第2个平行四边形A₁B₁C₁C，对角线相交于点O₁；再以O₁B₁，O₁C₁为邻边作第3个平行四边形O₁B₁B₂C₁；…以此类推．
（1）矩形ABCD的面积为

192

；
（2）第1个平行四边行OBB₁C的面积为

；
第2个平行四边形A₁B₁C₁C的面积为

；
（3）第n个平行四边形的面积为

192×(

)n（或

192

）

192×(

)n（或

192

）