Question

已知：矩形ABCD中AD＞AB，O是对角线的交点，过O任作一直线分别交BC、AD于点M、N（如图①）．
（1）求证：BM=DN；
（2）如图②，四边形AMNE是由四边形CMND沿MN翻折得到的，连接CN，求证：四边形AMCN是菱形；
（3）在（2）的条件下，如图③，若AB=4cm，BC=8cm，动点P、Q分别从A、C两点同时出发，沿△AMB和△CDN各边匀速运动一周．即点P自A→M→B→A停止，点Q自C→D→N→C停止．在运动过程中，已知点P的速度为每秒5cm，点Q的速度为每秒4cm，运动时间为t秒，当A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，求t的值．

Answer 1

分析：（1）证法一：连接BD，根据两直线平行，内错角相等可得∠OBM=∠ODN，再根据矩形的对角线互相平分可得OB=OD，然后利用“角边角”证明△OBM和△ODN全等，根据全等三角形对应边相等即可证明；
证法二：根据矩形的中心对称性可得B、D，M、N关于点O对称，从而得到BM=DN；
（2）证法一：根据矩形的对边平行且相等可得AD∥BC，AD=BC，然后求出AN=CM，再根据一组对边平行且相等是平行四边形证明四边形AMCN是平行四边形，根据翻折的性质可AM=CM，然后根据邻边相等的平行四边形是菱形证明；
证法二：根据翻折的性质可得AN=NC，AM=MC，∠AMN=∠CMN，再根据两直线平行，内错角相等可得∠ANM=∠CMN，然后求出∠AMN=∠ANM，根据等角对等边可得AM=AN，从而得到AM=MC=CN=NA，然后根据四条边都相等的四边形是菱形证明；
（3）先判断出点P在BM，点Q在ND上时，才能构成平行四边形，然后用t表示出PC、QA，再根据平行四边形的对边相等列出方程求解即可．

解答：解：（1）证法一：连接BD，则BD过点O，
∵AD∥BC，
∴∠OBM=∠ODN，
∵O是对角线的交点，
∴OB=OD，
在△OBM和△ODN中，

∠OBM=∠ODN OB=OD ∠BOM=∠DON

，
∴△OBM≌△ODN（ASA），
∴BM=DN；

证法二：∵矩形ABCD是中心对称图形，点O是对称中心，
∴得B、D，M、N关于点O对称，
∴BM=DN；


（2）证法一：∵矩形ABCD，
∴AD∥BC，AD=BC，
∵BM=DN，
∴AD-DN=BC-BM，
即AN=CM，
∴四边形AMCN是平行四边形，
由翻折得，AM=CM，
∴四边形AMCN是菱形；

证法二：由翻折得，AN=NC，AM=MC，∠AMN=∠CMN，
∵AD∥BC，
∴∠ANM=∠CMN，
∴∠AMN=∠ANM，
∴AM=AN，
∴AM=MC=CN=NA，
∴四边形AMCN是菱形；

（3）设菱形AMCN的边长为xcm，则BM=8-x，
在Rt△ABM中，AB²+BM²=AM²，
即4²+（8-x）²=x²，
解得x=5，
∴AM=5cm，
显然，当点P在AM上时，点Q在CD上，此时A、C、P、Q四点不可能构成平行四边形，
同理，点P在AB上时，点Q在DN或CN上，此时A、C、P、Q四点也不可能构成平行四边形，
因此，只有点P在BM上，点Q在DN上时，才能构成平行四边形，
此时PC=QA，
∵点P的速度为每秒5cm，点Q的速度为每秒4cm，运动时间为t，
∴PC=PM+MC=PM+AM=5t，
QA=AD+CD-CQ=8+4-4t=12-4t，
∴5t=12-4t，
解得t=

4

3

，
∴以A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，t=

4

3

秒．

点评：本题是四边形综合题型，主要考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，翻折变换的性质，菱形的判定与性质，平行四边形的性质，（3）判断出以A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，点P、Q的位置是解题的关键．