Question

10．如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠C=30°，以直角顶点A为圆心，AB长为半径画弧交BC于点D，过D作DE⊥AC于点E．若DE=a，则△ABC的周长用含a的代数式表示为$（6+2\sqrt{3}）a$．

Answer 1

分析 先根据∠C=30°，∠BAC=90°，DE⊥AC可知BC=2AB，CD=2DE，再由AB=AD可知点D是斜边BC的中点，由此可用a表示出AB的长，根据勾股定理可得出AC的长，由此可得出结论．

解答 解：∵∠C=30°，∠BAC=90°，DE⊥AC，
∴BC=2AB，CD=2DE=2a．
∵AB=AD，
∴点D是斜边BC的中点，
∴BC=2CD=4a，AB=$\frac{1}{2}$BC=2a，
∴AC=$\sqrt{B{C}^{2}-A{B}^{2}}$=$\sqrt{（4a）^{2}-（2a）^{2}}$=2$\sqrt{3}$a，
∴△ABC的周长=AB+BC+AC=2a+4a+2$\sqrt{3}$a=（6+2$\sqrt{3}$）a．
故答案为：（6+2$\sqrt{3}$）a．

点评 本题考查的是含30°的直角三角形，熟知在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半是解答此题的关键．