Question

16．已知抛物线C₁：y=$\frac{1}{4}$（x-m）²的顶点A在x轴正半轴上，与y轴交于B（0，1）．
（1）求抛物线C₁的解析式；
（2）如图1，平移直线AB交x轴于F，交y轴于E，交抛物线C₁于点M、N，若ME=NF，求直线EF的解析式；
（3）如图2，把抛物线C₁向下平移4个单位的抛物线C₂交x轴于C、D两点，交y轴于点G，在抛物线C₂的对称轴上一条动线段PQ=1（P点在Q点上方），当四边形GCPQ的周长最小时，求P点坐标．

Answer 1

分析 （1）将点B的坐标代入抛物线解析式中求出m的值，再根据抛物线的顶点在x轴正半轴即可得出抛物线解析式；
（2）根据点A、B的坐标利用待定系数法求出直线AB的解析式，奢侈直线EF的解析式，将EF的解析式代入抛物线C₁的解析式中求出点M、N的横坐标，根据一次函数图象上点的坐标特征找出点F的横坐标，再结合ME=NF即可得出关于n的方程，解方程即可求出n值，将其代入直线EF的解析式中即可得出结论；
（3）过点C作CC′∥y轴且CC′=1（C点在C′点上方），作G关于x=2的对称点G′，连接C′G′交抛物线对称轴x=2于点Q，在抛物线的对称轴上取PQ=1（P在Q点上方），连接CP、GQ，则此时四边形GCPQ的周长最小．根据平移的性质结合二次函数图象上点的坐标特征求出点C、G的坐标，由此即可得出C′和G′的坐标，利用待定系数法求出直线C′G′的解析式，代入x=2即可得出点Q的坐标，结合PQ=1即可得出点P的坐标．

解答 解：（1）将点B（0，1）代入y=$\frac{1}{4}$（x-m）²中，
得：1=$\frac{1}{4}$（0-m）²中，解得：m=±2，
∵抛物线C₁：y=$\frac{1}{4}$（x-m）²的顶点A在x轴正半轴上，
∴m=2，A（2，0），
∴抛物线C₁的解析式为y=$\frac{1}{4}$（x-2）²．
（2）设直线AB的解析式为y=kx+b（k≠0），
将点A（2，0）、B（0，1）代入y=kx+b中，
得：$\left\{\begin{array}{l}{0=2k+b}\\{1=b}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{1}{2}}\\{b=1}\end{array}\right.$，
∴直线AB的解析式为y=-$\frac{1}{2}$x+1．
∵直线EF∥AB，
∴设直线EF的解析式为y=-$\frac{1}{2}$x+n．
将y=-$\frac{1}{2}$x+n代入y=$\frac{1}{4}$（x-2）²中，得：-$\frac{1}{2}$x+n=$\frac{1}{4}$（x-2）²，
解得：x₁=1-$\sqrt{4n-3}$，x₂=1+$\sqrt{4n-3}$．
当y=0时，有-$\frac{1}{2}$x+n=0，
解得：x=2n．
∵ME=NF，
∴0-x₁=2n-x₂，既$\sqrt{4n-3}$=n，
解得：n=3或n=1（舍去），
∴直线EF的解析式为y=-$\frac{1}{2}$x+3．
（3）在图2中，过点C作CC′∥y轴且CC′=1（C点在C′点上方），作G关于x=2的对称点G′，连接C′G′交抛物线对称轴x=2于点Q，在抛物线的对称轴上取PQ=1（P在Q点上方），连接CP、GQ，则此时四边形GCPQ的周长最小．
根据平移可知平移后抛物线的解析式为y=$\frac{1}{4}$（x-2）²-4，
当y=0时，有$\frac{1}{4}$（x-2）²-4=0，
解得：x₁=-2，x₂=6，
∴C（-2，0），D（6，0）．
∵CC′=-1，且点C在上方，
∴C′（-2，-1）．
当x=0时，y=$\frac{1}{4}$（0-2）²-4=-3，
∴G（0，-3），
∴G′（4，-3）．
设直线C′G′的解析式为y=k₁x+b₁（k₁≠0），
∴$\left\{\begin{array}{l}{-1=-2{k}_{1}+{b}_{1}}\\{-3=4{k}_{1}+{b}_{1}}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{{k}_{1}=-\frac{1}{3}}\\{{b}_{1}=-\frac{5}{3}}\end{array}\right.$，
∴直线C′G′的解析式为y=-$\frac{1}{3}$x-$\frac{5}{3}$，
当x=2时，y=-$\frac{1}{3}$×2-$\frac{5}{3}$=-$\frac{7}{3}$．
∴Q（2，-$\frac{7}{3}$），
∵PQ=1，点P在点Q的上方，
∴P（2，-$\frac{4}{3}$）．

点评 本题考查待定系数法求函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征以及利用最短路径问题，解题的关键是：（1）利用待定系数法求出函数解析式；（2）找出关于n的方程；（3）确定点P、Q的位置．本题属于中档题，（3）难度不小，解决该问时，利用轴对称加平移找出四边形周长最小是点P、Q的位置是关键．