Question

【题目】如图（1），已知∠,点为射线上一点，且，、为射线和上的两个动点（），过点作⊥，垂足为点，且，联结．

（1）若时，求的值；

（2）设，求与之间的函数解析式，并写出定义域；

（3）如图(2)，过点作的垂线，垂足为点，交射线于点，点、在射线和上运动时，探索线段的长是否发生变化？若不发生变化，求出它的值。若发生变化，试用含x的代数式表示的长．

Answer 1

【答案】（1）；（2）(x>2)；（3）OQ的长度等于3.

【解析】

（1）根据有两对角相等的三角形相似可证明△CAP∽△COB，由相似三角形的性质可知：，在由已知条件可求出OB的长，由正切的定义计算即可；

（2）作AE⊥PC于E，易证△PAE∽△PCA，根据相似三角形的性质：对应边的比值相等，再利用平行线的性质即可得到 ，所以，整理即可得到求y与x之间的函数解析式，并写出定义域即可；

（3）点B、C在射线OM和ON上运动时，探索线段OQ的长不发生变化，由△PAH∽△PBA得：，即PA=PHPB，由△PHQ∽△POB得：即PQPO=PHPB，所以PA=PQPO，再由已知数据即可求出OQ的长．

（1）∵∠ACP=∠OCB ∠CAP=∠O=90°

∴△CAP∽△COB

∴

∵

∴

∴

∵AP=2

∴

在Rt△OBP中，

（2）作AE⊥PC，垂足为E，

易证△PAE∽△PCA

∴

∴

∴

∵∠MON=∠AEC=90°

∴ AE∥OM

∴

∴

整理得(x>2)

（3）线段OQ的长度不会发生变化

由△PAH∽△PBA

得

即

由△PHQ∽△POB

得

即

∴

∵PA=2 PO=4

∴PQ=1

∴OQ=3

即OQ的长度等于3.