Question

已知，如图，△ABC内接于⊙O₁，AB=AC，⊙O₂与BC相切于点B，与AB相交于点E，与⊙O₁相交于点D，直线AD交⊙O₂于点F，交CB的延长线于点G．
求证：（1）∠G=∠AFE；（2）AB•EB=DE•AG．

Answer 1

证明：（1）连接BD．
∵∠FEB=∠FDB，∠FDB=∠C，
∴∠FEB=∠C．
又∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C．
∴∠FEB=∠ABC．
∴EF∥CG．
∴∠G=∠AFE．

（2）连接BF．
∵∠ADE=∠ABF，∠DAE=∠BAF，
∴△ADE∽△ABF．
∴

DE

BF

=

AE

AF

．
又∵EF∥CG，
∴

AE

AF

=

AB

AG

即

DF

BF

=

AB

AG

．
∵∠BEF=∠ABC，∠ABC=∠BFE，
∴∠BEF=∠BFE．
∴BE=BF．
∴

DE

BE

=

AB

AG

，即AB•EB=DE•AG．