Question

已知：如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，点P是腰DC上的一个动点（P与D、C不重合），点E、F、G分别是线段BC、PC、BP的中点．
（1）试探索四边形EFPG的形状，并说明理由；
（2）若∠A=120°，AD=2，DC=4，当PC为何值时，四边形EFPG是矩形并加以证明．

Answer 1

解：（1）四边形EFPG是平行四边形．
理由：∵点E、F分别是BC、PC的中点，
∴EF∥BP．
同理可证EG∥PC．
∴四边形EFPG是平行四边形．

（2）方法一：当PC=3时，四边形EFPG是矩形．
证明：延长BA、CD交于点M．
∵AD∥BC，AB=CD，∠BAD=120°，
∴∠ABC=∠C=60°．
∴∠M=60°，
∴△BCM是等边三角形．
∵∠MAD=180°-120°=60°，
∴AD=DM=2．
∴CM=DM+CD=2+4=6．
∵PC=3，
∴MP=3，
∴MP=PC，
∴BP⊥CM即∠BPC=90度．
由（1）可知，四边形EFPG是平行四边形，
∴四边形EFPG是矩形．

方法二：当PC=3时，四边形EFPG是矩形．
证明：延长BA、CD交于点M．由（1）可知，四边形EFPG是平行四边形．
当四边形EFPG是矩形时，∠BPC=90度．
∵AD∥BC，∠BAD=120°，
∴∠ABC=60度．
∵AB=CD，∴∠C=∠ABC=60度．
∴∠PBC=30°且△BCM是等边三角形．
∴∠ABP=∠PBC=30°，
∴PC=PM=CM．
同方法一，可得CM=DM+CD=2+4=6，
∴PC=6×=3．
即当PC=3时，四边形EFPG是矩形．
分析：根据中点的条件，可以利用．三角形的中位线定理证明四边形EFPG的两组对边分别平行，得出这个四边形是平行四边形；
在平行四边形的基础上要说明四边形是矩形，只要再说明一个角是直角就可以．
点评：本题主要考查学生对等腰梯形的性质，平行四边形的判定及矩形的判定的理解及运用．