Question

10．如图，所有正三角形的一边平行于x轴，一顶点在y轴上，从内到外，它们的边长依次为2，4，6，8，…，顶点依次用A₁、A₂、A₃、A₄、…表示，其中A₁A₂与x轴、底边A₁A₂与A₄A₅、A₄A₅与A₇A₈、…均相距一个单位，则顶点A₂₂的坐标是（-8，-8）．

Answer 1

分析 先根据每一个三角形有三个顶点确定出A₂₂所在的三角形，再求出相应的三角形的边长以及A₂₂的纵坐标的长度，即可得解．

解答 解：∵△A₁A₂A₃的边长为2，
∴△A₁A₂A₃的高线为2×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\sqrt{3}$，
∵A₁A₂与x轴相距1个单位，
∴A₃O=$\sqrt{3}$-1，
∴A₃的坐标是（0，$\sqrt{3}$-1）；
∵22÷3=7…1，
∴A₂₂是第8个等边三角形的第1个顶点，
第8个等边三角形边长为2×8=16，
∴点A₂₂的横坐标为-$\frac{1}{2}$×16=-8，
∵边A₁A₂与A₄A₅、A₄A₅与A₇A₈、…均相距一个单位，
∴点A₂₂的纵坐标为-8，
∴点A₂₂的坐标为（-8，-8）．
故答案为（-8，-8）．

点评 本题是点的变化规律的考查，主要利用了等边三角形的性质，难度不大，第二问确定出点A₉₂所在三角形是解题的关键．