Question

13．关于x的方程x²-（k+1）x+$\frac{1}{4}$k²+1=0的两根恰为一个矩形的两邻边的长，且矩形的两对角线互相垂直．
（1）求k；
（2）求矩形的周长．

Answer 1

分析 （1）一个矩形的两邻边的长，且矩形的两对角线互相垂直，说明方程有两个相等的实数根，则判别式△=0，得出关于k的方程，求出k；
（2）求得方程的根得出答案即可．

解答 解：（1）∵一个矩形的两邻边的长，且矩形的两对角线互相垂直，
∴方程有两个相等的实数根，
则△=[-（k+1）]²-4（$\frac{1}{4}$k²+1）=2k-3=0，
∴k=$\frac{3}{2}$．
（2）方程为x²-$\frac{5}{2}$x+$\frac{25}{16}$=0，
解得：x₁=x₂=$\frac{5}{4}$，
矩形的周长为4×$\frac{5}{4}$=5．

点评 本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2-4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；当△＜0时，方程无实数根．