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    已知抛物线y1＝ax2＋bx＋c(a≠0)的顶点坐标是(1，4)，它与直线y2＝x＋1的一个交点的横坐标为2．

    (1)求抛物线的解析式；

    (2)在给出的坐标系中画出抛物线y1＝ax2＋bx＋c(a≠0)及直线y2＝x＋1的图象，并根据图象，直接写出使得y1≥y2的x的取值范围；

    (3)设抛物线与x轴的右边交点为A，过点A作x轴的垂线，交直线y2＝x＋1于点B，点P在抛物线上，当S△PAB≤6时，求点P的横坐标x的取值范围．

    答案：
    解析：

    　　分析：(1)首先求出抛物线与直线的交点坐标，然后利用待定系数法求出抛物线的解析式；

    　　(2)确定出抛物线与x轴的两个交点坐标，依题意画出函数的图象．由图象可以直观地看出使得y1≥y2的x的取值范围；

    　　(3)首先求出点B的坐标及线段AB的长度；设△PAB中，AB边上的高为h，则由S△PAB≤6可以求出h的范围，这是一个不等式，解不等式求出xP的取值范围．

    　　解答：解：(1)∵抛物线与直线y2＝x＋1的一个交点的横坐标为2，

    　　∴交点的纵坐标为2＋1＝3，即交点坐标为(2，3)．

    　　设抛物线的解析式为y1＝a(x－1)2＋4，把交点坐标(2，3)代入得：

    　　3＝a(2－1)2＋4，解得a＝－1，

    　　∴抛物线解析式为：y1＝－(x－1)2＋4＝－x2＋2x＋3．

    　　(2)令y1＝0，即－x2＋2x＋3＝0，解得x1＝3，x2＝－1，

    　　∴抛物线与x轴交点坐标为(3，0)和(－1，0)．

    　　在坐标系中画出抛物线与直线的图形，如图：

    　　根据图象，可知使得y1≥y2的x的取值范围为－1≤x≤2．

    　　(3)由(2)可知，点A坐标为(3，0)．

    　　令x＝3，则y2＝x＋1＝3＋1＝4，∴B(3，4)，即AB＝4．

    　　设△PAB中，AB边上的高为h，则h＝|xP－xA|＝|xP－3|，

    　　S△PAB＝AB·h＝×4×|xP－3|＝2|xP－3|．

    　　已知S△PAB≤6，2|xP－3|≤6，化简得：|xP－3|≤3，

    　　去掉绝对值符号，将不等式化为不等式组：－3≤xP－3≤3，

    　　解此不等式组，得：0≤xP≤6，

    　　∴当S△PAB≤6时，点P的横坐标x的取值范围为0≤xP≤6．

    　　点评：本题考查了二次函数的图象与性质、一次函数的图象与性质、待定系数法、三角形的面积、解不等式(组)等知识点．题目难度不大，失分点在于第(3)问，点P在线段AB的左右两侧均有取值范围，注意不要遗漏．


    提示：

    二次函数综合题．


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    科目：初中数学 来源：2008年江西省初中毕业升学统一考试、数学试卷 题型：044

    已知：如图所示的两条抛物线的解析式分别是y1＝－ax2－ax＋1，y2＝ax2－ax－1(其中a为常数，且a＞0)．

    (1)请写出三条与上述抛物线有关的不同类型的结论；

    (2)当a＝时，设y1＝－ax2－ax＋1与x轴分别交于M，N两点(M在N的左边)，y2＝ax2－ax－1与x轴分别交于E，F两点(E在F的左边)，观察M，N，E，F四点坐标，请写出一个你所得到的正确结论，并说明理由；

    (3)设上述两条抛物线相交于A，B两点，直线l，l1，l2都垂直于x轴，l1，l2分别经过A，B两点，l在直线l1，l2之间，且l与两条抛物线分别交于C，D两点，求线段CD的最大值．

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