分析 分两种情况:①点F靠近点A时,作FG⊥CD于G,则FG=BC=2,∠FGE=90°,由勾股定理求出GE,由矩形的性质和已知条件得出DG,由勾股定理求出DF的长;
②点F靠近点B时,作FG⊥CD于G,则FG=BC=2,∠FGE=90°,同①得出EG=1,得出DG=DE+EG=3,由勾股定理求出DF的长即可.
解答 就:分两种情况:
①点F靠近点A时,如图1所示:
作FG⊥CD于G,
则FG=BC=2,∠FGE=90°,
∴GE=$\sqrt{E{F}^{2}-F{G}^{2}}$=$\sqrt{(\sqrt{5})^{2}-{2}^{2}}$=1,
∵四边形ABCD是矩形,
∴CD=AB=4,AD=BC=2,
∵E是CD的中点,
∴DE=$\frac{1}{2}$CD=2,
∴DG=2-1=1,
∴DF=$\sqrt{F{G}^{2}+D{G}^{2}}$=$\sqrt{{2}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{5}$;
②点F靠近点B时,如图2所示:
作FG⊥CD于G,
则FG=BC=2,∠FGE=90°,
同①得出EG=1,
∴DG=DE+EG=3,
∴DF=$\sqrt{F{G}^{2}+D{G}^{2}}$=$\sqrt{{2}^{2}+{3}^{2}}$=$\sqrt{13}$;
综上所述:DF的长为$\sqrt{5}$或$\sqrt{13}$.
点评 本题考查了矩形的性质、勾股定理;熟练掌握矩形的性质,并能进行推理论证与计算是解决问题的关键;本题需要分类讨论.
科目:初中数学 来源: 题型:解答题
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