Question

1．已知矩形ABCD，E为CD的中点，F为AB上一点，连接EF，DF，若AB=4，BC=2，EF=$\sqrt{5}$，则DF的长为$\sqrt{5}$或$\sqrt{13}$．

Answer 1

分析 分两种情况：①点F靠近点A时，作FG⊥CD于G，则FG=BC=2，∠FGE=90°，由勾股定理求出GE，由矩形的性质和已知条件得出DG，由勾股定理求出DF的长；
②点F靠近点B时，作FG⊥CD于G，则FG=BC=2，∠FGE=90°，同①得出EG=1，得出DG=DE+EG=3，由勾股定理求出DF的长即可．

解答 就：分两种情况：
①点F靠近点A时，如图1所示：
作FG⊥CD于G，
则FG=BC=2，∠FGE=90°，
∴GE=$\sqrt{E{F}^{2}-F{G}^{2}}$=$\sqrt{（\sqrt{5}）^{2}-{2}^{2}}$=1，
∵四边形ABCD是矩形，
∴CD=AB=4，AD=BC=2，
∵E是CD的中点，
∴DE=$\frac{1}{2}$CD=2，
∴DG=2-1=1，
∴DF=$\sqrt{F{G}^{2}+D{G}^{2}}$=$\sqrt{{2}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{5}$；
②点F靠近点B时，如图2所示：
作FG⊥CD于G，
则FG=BC=2，∠FGE=90°，
同①得出EG=1，
∴DG=DE+EG=3，
∴DF=$\sqrt{F{G}^{2}+D{G}^{2}}$=$\sqrt{{2}^{2}+{3}^{2}}$=$\sqrt{13}$；
综上所述：DF的长为$\sqrt{5}$或$\sqrt{13}$．

点评 本题考查了矩形的性质、勾股定理；熟练掌握矩形的性质，并能进行推理论证与计算是解决问题的关键；本题需要分类讨论．