Question

如图，ABCD是边长为a的正方形，以A为圆心，AD为半径的圆弧与以CD为直径的半圆交于另一点P，过P作⊙A的切线分别交BC、CD于M、N两点，则

PM

PN

=______．

Answer 1

如图，连接AN、DP、AP．
∵AP=AD，
∴△APD是等腰三角形；
又∵MN是⊙A的切线，AD⊥DN，
∴∠PAN=∠DAN；
∴AN⊥PD；
而点A圆心，N在连心线上，
∴点N是圆心，
∴ND=NC=

a

2

；
∵MN是⊙A的切线，AB⊥BM，
∴BM=PM；
同理，DN=PN；
∴在直角三角形MNC中，（PM+PN）²=CM²+CN²，即（BM+

a

2

）²=（a-BM）²+（

a

2

）²，
解得，BM=

a

3

，
∴

PM

PN

=

BM

DN

=

a 3

a 2

=

2

3

；
故答案是：

2

3

．