Question

已知关于x的方程（a-1）x²+2（a-2）x+a+1=0
（1）就a的值讨论方程根的情况；
（2）若原方程有实数根x=k，求代数式a（k+1）²-（k²+4k-5）值．

Answer 1

解：（1）当a=1时，（a-1）x²+2（a-2）x+a+1=0变为2（a-2）x+a+1=0，
此时方程有一个实数根；
当a≠1时，△=4（a-2）²-4（a+1）（a-1）=-16a+20
∴当-16a+20＞0即a＜时原方程有两个不相等的实数根；
当-16a+20=0即a=时原方程有两个相等的实数根；
当-16a+20＜0即a＞时原方程没有实数根；

（2）将x=k代入（a-1）x²+2（a-2）x+a+1=0得：
（a-1）k²+2（a-2）k+a+1=0
展开得：ak²-k²+2ak-4k+a+1=0
a（k²+2k+1）-（k²+4k-1）=0
整理得：a（k+1）²-（k²+4k-1）=0
∴a（k+1）²-（k²+4k-5）=a（k+1）²-（k²+4k-1）+4=0+4=4．
分析：（1）分a=1和a≠1两种情况就可以得到方程根的情况；
（2）将x=k代入原方程整理后a（k+1）²-（k²+4k-1）=0后代入a（k+1）²-（k²+4k-5）即可求解．
点评：本题考查了根的判别式的知识，解题的关键是利用分类讨论的数学思想对原题可能会出现的不同情况讨论．