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    如图①，小慧同学把一个正三角形纸片（即△OAB）放在直线l1上．OA边与直线l1重合，然后将三角形纸片绕着顶点A按顺吋针方向旋转120°，此时点O运动到了点O1处，点B运动到了点B1处；小慧又将三角形纸片AO1B1，绕点B1按顺吋针方向旋转 120°，此时点A运动到了点A1处，点O1运动到了点O2处（即顶点O经过上述两次旋转到达O2处）．
    小慧还发现：三角形纸片在上述两次旋转的过程中．顶点O运动所形成的图形是两段圆弧，即
    OO1
    和
    O1O2
    ，顶点O所经过的路程是这两段圆弧的长度之和，并且这两段圆弧与直线l1围成的图形面积等于扇形A001的面积、△AO1B1的面积和扇形B1O1O2的面积之和．
    小慧进行类比研究：如图②，她把边长为1的正方形纸片0ABC放在直线l2上，0A边与直线l2重合，然后将正方形纸片绕着顶点A按顺时针方向旋转90°，此时点O运动到了点O1处（即点B处），点C运动到了点C1处，点B运动到了点B2处，小慧又将正方形纸片 AO1C1B1绕顶点B1按顺时针方向旋转90°，…．按上述方法经过若干次旋转后，她提出了如下问题：
    问题①：若正方形纸片0ABC按上述方法经过3次旋转，求顶点0经过的路程，并求顶点O在此运动过程中所形成的图形与直线l2围成图形的面积；若正方形纸片OABC按上述方法经过5次旋转．求顶点O经过的路程；
    问题②：正方形纸片OABC按上述方法经过多少次旋转，顶点0经过的路程是
    41+20
    		2
    2
    π    ？
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    分析：①根据正方形旋转3次和5次的路径，利用弧长计算公式以及扇形面积公式求出即可，
    ②再利用正方形纸片OABC经过4次旋转得出旋转路径，进而得出
    41+20
    		2
    2
    π    =20（1+
    		2
    2
    ）π+
    π
    2
    ，即可得出旋转次数．
    解答：精英家教网解：①如图所示，正方形纸片OABC经过3次旋转，顶点O运动所形成的图形是三段圆弧，
    ∴顶点O在此过程中经过的路程为：
    90π×1
    180
    ×    2+
    90π×
    		2
    180
    =（1+
    		2
    2
    ）π，
    顶点O在此过程中经过的图形与直线l2围成的图形面积为：
    90π×12
    360
    ×2+
    90π× 2 
    360
    +2×
    1
    2
    ×1=1+π．
    正方形纸片OABC经过5次旋转，顶点O在此过程中经过的路程为：
    90π×1
    180
    ×    3+
    90π×
    		2
    180
    =（
    3
    2
    +
    		2
    2
    ）π，

    ②正方形纸片OABC经过3次旋转，顶点O在此过程中经过的路程为：
    ∵
    90π×1
    180
    ×    2+
    90π×
    		2
    180
    =（1+
    		2
    2
    ）π，根据第四次正方形旋转时O点不动，也就是此时也是正方形纸片OABC经过4次旋转的路程；
    ∴
    41+20
    		2
    2
    π    =20（1+
    		2
    2
    ）π+
    π
    2
    ，
    ∴正方形纸片OABC经过了：20×4+1=81次旋转．
    点评：此题主要考查了图形的旋转以及扇形面积公式和弧长计算公式，分别得出旋转3，4，5次旋转的路径是解决问题的关键．
    练习册系列答案
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    （1）捐款20元这一组的频数是
    14
    ；
    （2）40名同学捐款数据的中位数是
    15元
    ；
    （3）若该校捐款金额不少于34500元，请估算该校捐款同学的人数至少有多少名？

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    ；
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    （1）捐款20元这一组的频数是  ▲  ；

    （2）40名同学捐款数据的中位数是  ▲  ；

    （3）若该校捐款金额不少于34500 元，请估算该校捐款同学的人数至少有多少名？

     

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    （1）捐款20元这一组的频数是  ▲ ；
    （2）40名同学捐款数据的中位数是  ▲ ；
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