Question

已知，四边形ABCD中，∠BAD=60°，AB=AC=AD，对角线AC平分∠BAD，直角三角板30°角的顶点与A点重合，
（1）如图，当三角板的两边分别与BC、CD交于E、F时，通过观察或测量，猜想线段BE和CF之间的数量关系，并证明；
（2）如图，当三角板的两边分别与BC、CD的延长线交于E、F时，通过观察或测量，猜想线段BE和CF之间的数量关系，并证明．

Answer 1

分析：（1）求出∠BAC=∠EAF=30°，∠B=∠ACD，推出∠BAE=∠CAF，根据AAS证△BAE和△CAF全等即可；
（2）与（1）类似，推出∠BAE=∠CAF，根据ASA证△BAE和△CAF全等即可．

解答：（1）线段BE和CF之间的数量关系是BE=CF，
证明：∵AC平分∠BAD，∠BAD=60°，
∴∠BAC=∠CAD=30°，
∵∠EAF=30°，
∴∠BAC-∠EAC=∠EAF-∠EAC，
即∠BAE=∠CAF，
∵AB=AC=AD，
∴∠B=∠ACB=

1

2

（180°-∠BAC）=75°，
同理∠ACD=∠D=75°，
∴∠B=∠ACD，
在△BAE和△CAF中

∠B=∠ACD ∠BAE=∠CAF AB=AC

，
∴△BAE≌△CAF，
∴BE=CF．

（2）线段BE和CF之间的数量关系是BE=CF，
证明：∵∠BAC=∠EAF=30°，
∴∠BAC+∠CAE=∠EAF+∠CAE，
即∠BAE=∠CAF，
在△BAE和△CAF中

∠BAE=∠CAF AB=AC ∠B=∠ACD

，
∴△BAE≌△CAF，
∴BE=CF．

点评：本题考查了含30度角的直角三角形，角平分线性质，全等三角形的性质和判定，等式的性质，三角形的内角和定理，等腰三角形的性质等知识点，主要考查学生综合运用这些性质进行分析问题和解决问题的能力，此题综合性比较强，但难度适中．