Question

（2012•吴中区一模）如图，四边形OABC是面积为4的正方形，函数y=

k

x

（x＞0）的图象经过点B．
（1）求k的值；
（2）以原点O为位似中心，将正方形OABC放大，使变换后的正方形OMQN与正方形OABC对应的比为2：1，且正方形OMQN在第一象限内与函数y=

k

x

（x＞0）的图象交于点F、F，求经过三点F、B、E的抛物线的解析式．

Answer 1

分析：（1）由于四边形OABC是面积为4的正方形，易求其边长，从而易知点B的坐标，而点B在反比例函数上，代入可求k；
（2）根据两个正方形的位似比是2：1，易求正方形OMQN的边长，进而可知点E的横坐标、F的纵坐标都是4，而点E、F在反比例函数图象上，代入可分别求出点E、F的坐标，先设所求抛物线的解析式是y=ax²+bx+c，再把点EFB的坐标代入，可得关于a、b、c的三元一次方程组，解可求a、b、c的值，进而可得抛物线的解析式．

解答：解：（1）∵四边形OABC是面积为4的正方形，
∴OA=AB=2，
∴点B的坐标是（2，2），
又∵点B在y=

k

x

上，
∴k=4；

（2）∵OM：OA=2：1，OA=2，
四边形OMQN是正方形，
∴OM=QM=4，
∴点E的横坐标是4，点F的纵坐标是4，
∵点E、F在反比例函数上，
∴点E坐标是（4，1），点F的坐标是（1，4），
设所求抛物线的解析式是y=ax²+bx+c，
把（2，2）、（1，4）、（4，1）代入抛物线解析式，可得

4a+2b+c=2 a+b+c=4 16a+4b+c=1

，
解得

a= 1 2 b=- 7 2 c=7

，
∴所求抛物线的解析式是y=

1

2

x²-

7

2

x+7．

点评：本题时反比例函数综合题，解题的关键是掌握点和函数解析式的关系，会使用待定系数法求函数解析式，以及正方形的性质．