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如图,直线与x轴交于C,与y轴交于D,以CD为边作矩形CDAB,点A在x轴上,双曲线y=(k<0)经过点B,则k的值为( )

A.1
B.3
C.4
D.-6
【答案】分析:过B点作BE⊥x轴,先求出D点坐标为(0,2),C点坐标为(4,0),根据矩形的性质易证得Rt△ADO∽Rt△DCO,则OA:OD=OD:OC,即OA:2=2:4,可求出OA=1,然后证明Rt△ADO≌Rt△CBE,则BE=OD=2,EC=OA=1,得到OE=4-1=3,于是B点坐标为(3,-2),然后把B(3,-2)代入y=中即可得到k的值.
解答:解:过B点作BE⊥x轴,如图,
对于,令x=0,则y=2;令y=0,则-x+2=0,
∴D点坐标为(0,2),C点坐标为(4,0),
∵四边形ABCD为矩形,
∴∠ADC=90°,
∴∠ADO=∠DCO,
∴Rt△ADO∽Rt△DCO,
∴OA:OD=OD:OC,即OA:2=2:4,
∴OA=1,
∵BC=AD,且∠DAO=∠BCE,
∴Rt△ADO≌Rt△CBE,
∴BE=OD=2,EC=OA=1,
∴OE=4-1=3,
∴B点坐标为(3,-2),
把B(3,-2)代入y=中得k=-2×3=-6.
故选D.
点评:本题考查了反比例函数综合题:点在反比例函数图象上,则点的横纵坐标满足其解析式;利用相似三角形和全等三角形的判定与性质得到线段之间的关系;运用矩形得到线段相等、角相等.
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