Question

6．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AM⊥BC，垂足为M，AN⊥DC，垂足为N，若∠BAD=∠BCD=120°，AM=AN=$\sqrt{3}$，
①求证：四边形ABCD是菱形；
②求四边形ABCD的面积．

Answer 1

分析 ①利用全等三角形的判定与性质得出AB=AD，进而利用菱形的判定方法得出答案；
②直接利用等边三角形的性质结合勾股定理得出AN，AD的长进而得出答案．

解答 ①证明：∵AD∥BC，
∴∠B+∠BAD=180°，∠D+∠C=180°，
∵∠BAD=∠BCD，
∴∠B=∠D，
∴四边形ABCD是平行四边形
∵AM⊥BC，AN⊥DC
∴∠AMB=∠AND=90°
在△ABM和△ADN中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠B=∠D}\\{∠AMB=∠AND=90°}\\{AM=AN}\end{array}\right.$，
∴△ABM≌△ADN（AAS），
∴AB=AD，
∴四边形ABCD是菱形；

②解：如图：连接AC，
在Rt△AND中，∠D=60°
则AD=2DN  AN=$\sqrt{3}$，有AD²=DN²+AN² 
即4DN²=DN²+3，
解得：DN=1，
故AD=2，AN=$\sqrt{3}$，
在等边三角形ACD中S_△ACD=$\frac{1}{2}$CD×AN=$\sqrt{3}$，
故S_ABCD=2S_△ACD=2$\sqrt{3}$．

点评 此题主要考查了平行四边形的性质以及菱形的判定，正确掌握菱形的判定方法是解题关键．