Question

8．有40名大学毕业生在郊区承包了100亩土地，准备种植蔬菜、果树、药材，种植这几种作物每亩所需人数和预测利润见表：

作物名称	蔬菜	果树	药材
每亩地所需的人数（人）	$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{3}$	$\frac{1}{4}$
每亩地的预测利润（元）	11000	7500	6000

请你设计一个种植方案，既要保证每亩地都种上作物，这40名大学毕业生都有工作，又要保证预测利润的总和最多．

Answer 1

分析 设种植蔬菜的人数为x人，种植果树的为y人，种植药材的为z人，根据总人数为40以及承包土地为100亩，即可得出关于x、y、z的三元一次方程组，用含z的代数式分别表示出x、y，设利润总和为w元，根据总利润=种植蔬菜利润+种植果树利润+种植药材利润，即可得出w关于x的函数关系式，由x、y、z的范围可确定z的取值范围，再利用一次函数的性质即可确定w取最大值是z的值，将其分别代入x、y中，此题得解．

解答 解：设种植蔬菜的人数为x人，种植果树的为y人，种植药材的为z人，
根据题意得：$\left\{\begin{array}{l}{x+y+z=40}\\{2x+3y+4z=100}\end{array}\right.$，
∴y=20-2z，x=20+z．
设利润总和为w元，
根据题意得：w=11000×2x+7500×3y+6000×4z=1000z+890000．
∵0＜x＜40，0＜y＜40，0＜z＜40，
即$\left\{\begin{array}{l}{0＜20-2z＜40}\\{0＜20+z＜40}\\{0＜z＜40}\end{array}\right.$，解得：0＜z＜10．
∵w随z的值增大而增大，
∴当z=9时，w取最大值，最大值为1000×9+890000=899000，
此时y=20-2z=2，x=20+z=29．
答：种植方案为：种植蔬菜29人、种植果树2人、种植药材9人．

点评 本题考查了一次函数的应用、三元一次方程组以及解一元一次不等式组，根据数量关系找出w关于z的函数关系式是解题的关键．