Question

图形可以帮助刻画和描述问题；图形可以帮助发现和寻找解决问题的思路；图形可以帮助表述和记忆一些结果．积累一些图形模块，在类比发现中你会体验到问题解决的轻松，看图想事，看图说理一定会让你受益匪浅！
【探索与发现】
如图（1），梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC、BD相交于点O．则

S△ABD

S△BCD

=

OA

OC

成立吗？试说明理由．
【思路与分析】
过点A作AE⊥BD于点E，过点C作CF⊥BD于点F．由于△ABD与△BCD同底不同高，所以二者的面积比可以转化为对应高的比；容易得到△AOE∽△COF，从而据相似三角形的性质，借助等量

AE

CF

的代换，

S△ABD

S△BCD

=

OA

OC

成立．如图（2），对于四边形ABCD，

S△ABD

S△BCD

=

OA

OC

的结论是否正确？试说明理由．
【应用与综合】
图（2）中的四边形ABCD沿BD边对折，连接并延长AC交BD（或其延长线）于点E，图（3）和图（4）是由此可能得到的情形：
在图（3）的情形下，试比较大小：

S△ABD

S△BCD

 

AE

CE

；（用“＞”或“＜”或“=”填空）
在图（4）的情形下，试比较大小：

S△ABD

S△BCD

 

AE

CE

；（用“＞”或“＜”或“=”填空）
【拓展与延伸】
（1）如图（5），E、F分别是△ABC两边AB、AC的中点，线段BF、CE相交于点P，则

CP

PE

=

 

；
（2）如图（6），E、F分别是△ABC两边AB、AC上的点，且 AE=mEB，AF=nFC，线段BF、CE相交于点P，则

CP

PE

=

 

．
（3）如图（7），在△ABC内任取一点P，连接并延长AP、BP、CP，分别交对边于点D、E、F，则

PD

AD

+

PE

BE

+

PF

CF

=

 

．

Answer 1

考点：相似形综合题

专题：

分析：【探索与发现】如图（2），过点A作AE⊥BD于点E，过点C作CF⊥BD于点F．由于△ABD与△BCD同底不同高，所以二者的面积比可以转化为对应高的比；容易得到△AOE∽△COF，从而根据相似三角形的性质，借助等量

AE

CF

的代换，

S△ABD

S△BCD

=

OA

OC

成立；
【应用与综合】
在图（3）的情形下，过点A作AM⊥BD于点M，过点C作CN⊥BD于点N．由于△ABD与△BCD同底不同高，所以二者的面积比可以转化为对应高的比；容易得到△AME∽△CNE，从而根据相似三角形的性质，借助等量

AM

CN

的代换，得到

S△ABD

S△BCD

=

AE

CE

；
在图（4）的情形下，过点A作AM⊥BD于点M，过点C作CN⊥BD于点N．由于△ABD与△BCD同底不同高，所以二者的面积比可以转化为对应高的比；容易得到△AME∽△CNE，从而根据相似三角形的性质，借助等量

AM

CN

的代换，得到

S△ABD

S△BCD

=

AE

CE

；
【拓展与延伸】
（1）如图（5），连结EF．利用同高不同底的三角形面积比等于底之比，可得

S△BCP

S△BPE

=

CP

PE

，

S△PCF

S△PEF

=

CP

PE

，再利用等比性质，可得

S△BCF

S△BEF

=

CP

PE

，然后根据相似三角形的性质及三角形中位线定理即可得出

CP

PE

=

BC

EF

=2；
（2）如图（6），连结EF．由前面结论可知，

S△BCF

S△BEF

=

CP

PE

，又S_△BCF=

1

n+1

S_△ABC，那么S_△ABF=

n

n+1

S_△ABC，S_△BCF=

1

n

S_△ABF，S_△BEF=

1

m+1

S_△ABF，进而得出

CP

PE

=

m+1

n

；
（3）如图（7），利用同高不同底的三角形面积比等于底之比，可得S_△BDP：S_△ABD=DP：AD，S_△CDP：S_△ACD=DP：AD，再利用等比性质，可得S_△BCP：S_△ABC=PD：AD①，同理可得，S_△ACP：S_△ABC=PE：BE②，S_△ABP：S_△ABC=PF：CF③，①+②+③即可得出

PD

AD

+

PE

BE

+

PF

CF

=1．

解答：解：【探索与发现】如图（2），对于四边形ABCD，

S△ABD

S△BCD

=

OA

OC

的结论正确．理由如下：
过点A作AE⊥BD于点E，过点C作CF⊥BD于点F．
∵△ABD与△BCD同底不同高，
∴

S△ABD

S△BCD

=

AE

CF

．
∵△AOE∽△COF，
∴

OA

OC

=

AE

CF

，
∴

S△ABD

S△BCD

=

OA

OC

；

【应用与综合】
如图（3），过点A作AM⊥BD于点M，过点C作CN⊥BD于点N．
∵△ABD与△BCD同底不同高，
∴

S△ABD

S△BCD

=

AM

CN

．
∵△AME∽△CNE，
∴

AE

CE

=

AM

CN

，
∴

S△ABD

S△BCD

=

AE

CE

；
如图（4），过点A作AM⊥BE于点M，过点C作CN⊥BE于点N．
∵△ABD与△BCD同底不同高，
∴

S△ABD

S△BCD

=

AM

CN

．
∵△AME∽△CNE，
∴

AE

CE

=

AM

CN

，
∴

S△ABD

S△BCD

=

AE

CE

；

【拓展与延伸】
（1）如图（5），连结EF．
∵

S△BCP

S△BPE

=

CP

PE

，

S△PCF

S△PEF

=

CP

PE

，
∴

S△BCP+S△PCF

S△BPE+S△PEF

=

CP

PE

，
即

S△BCF

S△BEF

=

CP

PE

．
∵E、F分别是△ABC两边AB、AC的中点，
∴EF∥BC，EF=

1

2

BC，
∴△BCP∽△FEP，
∴

CP

PE

=

BC

EF

=2；
（2）如图（6），连结EF．
由前面结论可知，

S△BCF

S△BEF

=

CP

PE

．
∵△BCF与△ABF同高不同底，AF=nFC，
∴

S△BCF

S△ABF

=

CF

AF

=

1

n

，
∴S_△BCF=

1

n

S_△ABF，
∵△BEF与△ABF同高不同底，AE=mEB，
∴

S△BEF

S△ABF

=

BE

AB

=

1

m+1

，
∴S_△BEF=

1

m+1

S_△ABF，
∴

S△BCF

S△BEF

=

1 n S△ABF

1 m+1 S△ABF

=

m+1

n

，
∴

CP

PE

=

m+1

n

；
（3）如图（7），
∵S_△BDP：S_△ABD=PD：AD，S_△CDP：S_△ACD=PD：AD，
∴（S_△BDP+S_△CDP）：（S_△ABD+S_△ACD）=PD：AD，
∴S_△BCP：S_△ABC=PD：AD①，
同理S_△ACP：S_△ABC=PE：BE②，S_△ABP：S_△ABC=PF：CF③，
①+②+③，得（S_△BCP+S_△ACP+S_△ABP）：S_△ABC=

PD

AD

+

PE

BE

+

PF

CF

，
∵S_△BCP+S_△ACP+S_△ABP=S_△ABC，
∴

PD

AD

+

PE

BE

+

PF

CF

=1．
故答案为=；=；2；

m+1

n

；1．

点评：本题是相似形综合题，考查了相似三角形的判定与性质，三角形的面积公式、等比性质，注意同底不同高的两个三角形面积比等于它们对应高的比，同高不同底的两个三角形面积比等于它们的底之比．