Question

3．如图，在△ABC中，AB=AC=10cm，BD⊥AC于点D，BD=8cm．点M从点A出发，沿AC的方向匀速运动，同时直线PQ由点B出发，沿BA的方向匀速运动，运动过程中始终保持PQ∥AC，直线PQ交AB于点P、交BC于点Q、交BD于点F．连接PM，设运动时间为t秒（0＜t≤5）．线段CM的长度记作y_甲，线段BP的长度记作y_乙，y_甲和y_乙关于时间t的函数变化情况如图所示．
（1）由图2可知，点M的运动速度是每秒2cm，当t为何值时，四边形PQCM是平行四边形？在图2中反映这一情况的点是E（$\frac{10}{3}$，$\frac{10}{3}$）；
（2）设四边形PQCM的面积为ycm²，求y与t之间的函数关系式；
（3）是否存在某一时刻t，使S_{四边形PQCM}=$\frac{1}{2}$S_△ABC？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由；
（4）连接PC，是否存在某一时刻t，使点M在线段PC的垂直平分线上？若存在，求出此时t的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）先由图2判断出点M的速度为2cm/s，PQ的运动速度为1cm/s，再由四边形PQCM为平行四边形，根据平行四边形的性质得到对边平行，进而得到AP=AM，列出关于t的方程，求出方程的解得到满足题意t的值；
（2）根据PQ∥AC可得△PBQ∽△ABC，根据相似三角形的形状必然相同可知△BPQ也为等腰三角形，即BP=PQ=t，再用含t的代数式就可以表示出BF，进而得到梯形的高PE=DF=8-t，又点M的运动速度和时间可知点M走过的路程AM=2t，所以梯形的下底CM=10-2t．最后根据梯形的面积公式即可得到y与t的关系式；
（3）根据三角形的面积公式，先求出三角形ABC的面积，又根据S_{四边形PQCM}=$\frac{1}{2}$S_△ABC，求出四边形PQCM的面积，从而得到了y的值，代入第二问求出的y与t的解析式中求出t的值即可；
（4）假设存在，则根据垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等即可得到MP=MC，过点M作MH垂直AB，由一对公共角的相等和一对直角的相等即可得到△AHM∽△ADB，由相似得到对应边成比例进而用含t的代数式表示出AH和HM的长，再由AP的长减AH的长表示出PH的长，从而在直角三角形PHM中根据勾股定理表示出MP的平方，再由AC的长减AM的长表示出MC的平方，根据两者的相等列出关于t的方程进而求出t的值．

解答 解：（1）由图2得，点M的运动速度为2cm/s，PQ的运动速度为1cm/s，
∵四边形PQCM是平行四边形，则PM∥QC，
∴AP：AB=AM：AC，
∵AB=AC，
∴AP=AM，即10-t=2t，
解得：t=$\frac{10}{3}$，
∴当t=$\frac{10}{3}$时，四边形PQCM是平行四边形，此时，图2中反映这一情况的点是E（$\frac{10}{3}$，$\frac{10}{3}$）
故答案为：2，E（$\frac{10}{3}$，$\frac{10}{3}$）．
（2）∵PQ∥AC，
∴△PBQ∽△ABC，
∴△PBQ为等腰三角形，PQ=PB=t，
∴$\frac{BF}{BD}=\frac{BP}{BA}$，即$\frac{BF}{8}\frac{t}{10}$，
解得：BF=$\frac{4}{5}$t，
∴FD=BD-BF=8-$\frac{4}{5}$t，
又∵MC=AC-AM=10-2t，
∴y=$\frac{1}{2}$（PQ+MC）•FD=$\frac{1}{2}$（t+10-2t）（8-$\frac{4}{5}$t）=$\frac{2}{5}$t²-8t+40；
（3）存在；
∵S_△ABC=$\frac{1}{2}$AC•BD=$\frac{1}{2}$×10×8=40，
当S_{四边形PQCM}=$\frac{1}{2}$S_△ABC时，y=$\frac{2}{5}$t²-8t+40=20，
解得：t=10-5$\sqrt{2}$，或t=10+5$\sqrt{2}$（不合题意，舍）；
即：t=10-5$\sqrt{2}$时，S_{四边形PQCM}=$\frac{1}{2}$S_△ABC．
（4）假设存在某一时刻t，使得M在线段PC的垂直平分线上，则MP=MC，
过M作MH⊥AB，交AB与H，如图所示：
∵∠A=∠A，∠AHM=∠ADB=90°，
∴△AHM∽△ADB，
∴$\frac{HM}{BD}=\frac{AH}{AD}=\frac{AM}{AB}$，
又∵AD=6，
∴$\frac{HM}{8}=\frac{AH}{6}=\frac{2t}{10}$，
∴HM=$\frac{8}{5}$t，AH=$\frac{6}{5}$t，
∴HP=10-t-$\frac{6}{5}$t=10-$\frac{11}{5}$t，
在Rt△HMP中，MP²=（$\frac{8}{5}$t）²+（10-$\frac{11}{5}$t）²=$\frac{37}{5}$t²-44t+100，
又∵MC²=（10-2t）²=100-40t+4t²，
∵MP²=MC²，
∴$\frac{37}{5}$t²-44t+100=100-40t+4t²，
解得 t₁=$\frac{20}{17}$，t₂=0（舍去），
∴t=$\frac{20}{17}$s时，点M在线段PC的垂直平分线上．

点评 此题是四边形综合题，主要考查了平行四边形的性质，三角形相似的判定与性质，垂直平分线的性质以及勾股定理的应用．第二问的解题关键是根据相似三角形的高之比等于对应边之比得出比例，进而求出关系式，第三问和第四问都属于探究性试题，需要采用“逆向思维”．