Question

14．如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，CD垂直AB于D，把△ACD沿直线AC折叠得到△ACE，AE交⊙O于F点，EC、AB的延长线交于G
（1）求证：CE与⊙O相切；
（2）如果AB=4，∠BAC=30°，求CG、BG的长．

Answer 1

分析 （1）连结OC，如图，先利用折叠性质得到∠E=∠ADC=90°，∠EAC=∠DAC，则AE⊥GC，再证明OC∥AE得到OC⊥CG，然后根据切线的判定定理得到CE与⊙O相切；
（2）先计算出∠GOC=∠OAC+∠OCA=60°，然后根据含30度的直角三角形三边的关系计算出CG、OG，然后计算BG．

解答 （1）证明：连结OC，如图，
∵CD⊥AB，
∴∠ADC=90°，
∵△ACD沿直线AC折叠得到△ACE，
∴∠E=∠ADC=90°，∠EAC=∠DAC，
∴AE⊥GC，
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA，
∴∠OCA=∠EAC，
∴OC∥AE，
∴OC⊥CG，
∴CE与⊙O相切；
（2）解：∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA=30°，
∴∠GOC=∠OAC+∠OCA=60°，
∴∠G=30°，
在Rt△OCG中，∵OC=2，
∴CG=$\sqrt{3}$OC=2$\sqrt{3}$，
OG=2OC=4，
∴BG=OG-OB=4-2=2．

点评 本题考查了切线的判定：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．在判定一条直线为圆的切线时，当已知条件中未明确指出直线和圆是否有公共点时，常过圆心作该直线的垂线段，证明该线段的长等于半径；当已知条件中明确指出直线与圆有公共点时，常连接过该公共点的半径，证明该半径垂直于这条直线．