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13.如图,在平面直角坐标系中,已知△AOB是等边三角形,点A的坐标是(0,4),点B在第一象限,点P是x轴上的一个动点,连结AP,并把△AOP绕着点A按逆时针方向旋转,使边AO与AB重合,得到△ABD.
(1)求直线AB的解析式;
(2)当点P运动到点$(\sqrt{3},0)$时,求此时DP的长及点D的坐标.

分析 (1)如图1,过点B作BE⊥y轴于点E,作BF⊥x轴于点F,根据题意得到BF=OE=2,利用等边三角形的性质进而求出OF的长,确定出B的坐标,设直线AB解析式为y=kx+b,把A与B坐标代入求出k与b的值,即可确定出直线AB解析式;
(2)由△ABD由△AOP旋转得到,利用旋转的性质得到两三角形全等,利用全等三角形对应边相等,对应角相等得到AP=AD,∠DAB=∠PAO,进而得到三角形ADP为等腰直角三角形,求出AP的长,即为等边三角形的边长,如图1,过点D作DH⊥x轴于点H,延长EB交DH于点G,可得BG⊥DH,在直角三角形BDG中,求出BG与DG的长,进而确定出OH与DH的长,确定出D坐标即可.

解答 解:(1)如图1,过点B作BE⊥y轴于点E,作BF⊥x轴于点F,
由已知得:BF=OE=2,OF=$\sqrt{{4}^{2}-{2}^{2}}$=2$\sqrt{3}$,
∴点B的坐标是(2$\sqrt{3}$,2),
设直线AB的解析式是y=kx+b,则有$\left\{\begin{array}{l}{b=4}\\{2\sqrt{3}k+b=2}\end{array}\right.$,
解得:$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{\sqrt{3}}{3}}\\{b=4}\end{array}\right.$,
∴直线AB的解析式是y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+4;
(2)∵△ABD由△AOP旋转得到,
∴△ABD≌△AOP,
∴AP=AD,∠DAB=∠PAO,
∴∠DAP=∠BAO=60°,
∴△ADP是等边三角形,
∴DP=AP=$\sqrt{{4}^{2}+(\sqrt{3})^{2}}$=$\sqrt{19}$,
如图1,过点D作DH⊥x轴于点H,延长EB交DH于点G,可得BG⊥DH,
在Rt△BDG中,∠BGD=90°,∠DBG=60°,BD=OP=$\sqrt{(\sqrt{19})^{2}{-4}^{2}}$=$\sqrt{3}$,
∴BG=BD•cos60°=$\sqrt{3}$×$\frac{1}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$,DG=BD•sin60°=$\sqrt{3}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{3}{2}$,
∴OH=EG=$\frac{5\sqrt{3}}{2}$,DH=$\frac{7}{2}$,
∴点D的坐标为($\frac{5\sqrt{3}}{2}$,$\frac{7}{2}$).

点评 此题属于一次函数综合题,涉及的知识有:待定系数法确定一次函数解析式,坐标与图形性质,等边三角形的判定与性质,旋转的性质,锐角三角函数定义,以及勾股定理,熟练掌握性质及定理是解本题的关键.

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