Question

如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点．Rt△OAB的斜边OA在x轴的正半轴上，点A的坐标为（2，0），点B在第一象限内，且OB=

3

，∠OBA=90°．以边OB所在直线折叠Rt△OAB，使点A落在点C处．
（1）求证：△OAC为等边三角形；
（2）点D在x轴的正半轴上，且点D的坐标为（4，0）．点P为线段OC上一动点（点P不与点O重合），连接PA、PD．设PC=x，△PAD的面积为y，求y与x之间的函数关系式；
（3）在（2）的条件下，当x=

1

2

时，过点A作AM⊥PD于点M，若k=

7AM

2PD

，求证：二次函数y=-2x²-（7k-3

3

）x+

3

k的图象关于y轴对称．

Answer 1

分析：（1）∵OA=2，OB=

3

，∠OBA=90，解直角△OAB可知∠OAB=60°，由折叠可知∠C=∠OAB=60°，故△OAC为等边三角形；
（2）过点P作PE⊥OA于点E，以AD为底，PE为高，其中AD=2，在直角△OPE中，OP=2-x，∠POE=60°，解直角三角形可求PE，从而可表示面积；
（3）当x=

1

2

时，可求线段PE、OE、ED及△PAD的面积，用勾股定理可求PD的长，用面积法可求AM长，从而可求k值，就能确定抛物线解析式了，也就能回答问题了．

解答：（1）证明：由题意可知OA=OC，
∵∠OBA=90°，OB=

3

，A的坐标为（2，0）
∴sin∠OAB=

3

2

∴∠OAB=60°
∴△OAC为等边三角形；

（2）解：由（1）可知OC=OA=2，∠COA=60°
∵PC=x，
∴OP=2-x
过点P作PE⊥OA于点E，在Rt△POE中，sin∠POE=

PE

OP

即

PE

2-x

=

3

2

∴PE=

3

2

（2-x）=-

3

2

x+

3

∴S_△PAD=

1

2

AD•PE=

1

2

（4-2）•PE=PE
∴y=-

3

2

x+

3

；

（3）证明：当x=

1

2

时，即PC=

1

2

∴OP=

3

2

在Rt△POE中，PE=OP•sin∠POE=

3 3

4

OE=OP•cos∠POE=

3

4

∴DE=OD-OE=4-

3

4

=

13

4

∴在Rt△PDE中，PD=

PE2+DE2

=

( 3 3 4 )2+( 13 4 )2

=

7

2

又∵S_△PAD=-

3

2

x+

3

=-

3

2

•

1

2

+

3

=

3 3

4

∴S_△PAD=

1

2

PD•AM=

3 3

4

∴AM=

3 3

7

，
∴k=

7AM

2PD

=

3 3

7

∴y=-2x²-（7k-3

3

）x+

3

k=-2x²-（7×

3 3

7

-3

3

）x+

3

×

3 3

7

∴y=-2x²+

9

7

∵此二次函数图象的对称轴是直线x=0，
∴此二次函数的图象关于y轴对称．

点评：本题考查等边三角形、函数解析式、三角形面积、二次函数图象的有关知识，属于动点与动线相结合的运动变化题目，由浅入深地设置了三个问题，是一道综合性题目，有一定难度．