Question

12．如图，正方形ABCD的顶点A的坐标为（0，3），顶点B在轴的正方向上，tan∠OBA=3，对角线AC，BD交于点P，射线OP交AB于点N，交DC于点M，点R从O出发沿OM方向以每秒$\sqrt{2}$个单位的速度运动，运动时间为t．
（1）求点D、点P的坐标；
（2）t为何值时，△DMR与△ANO相似？
（3）点R运动过程中，是否存在以点A，点B，点C，点R为顶点的四边形是梯形？若存在，请直接写出相应t的值；若不存在．请说明理由．

Answer 1

分析 （1）过点D作DF⊥y轴于点F，作CE⊥x轴于点E，首先求出OB的长，由全等三角形的判定定理可得出△AOB≌△BEC≌△DFA，故可得出C、D的坐标，利用中点坐标公式即可得出P点坐标；
（2）过点N作NE⊥AO，于点E，过点A作AF⊥MS于点F，MS⊥x轴于点S，求出M、N两点坐标，再分∠DRM=45°和∠MDR=45°两种情况进行讨论；
（3）分情况进行讨论，顶边和底边分别为BC、AR，此时BC∥AR，结合已知和已证求出R点的坐标，求出t即可；顶边、底边分别为CR、AB，此时CR∥AB，结合已知和已证求出R点的坐标，求出t即可．

解答 解：（1）如图1，过点D作DF⊥y轴于点F，作CE⊥x轴于点E．

∵tan∠ABO=3，
∴$\frac{OA}{OB}$=3，
∵A（0，3），
∴OA=3，OB=1，AB=$\sqrt{{3}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{10}$，
∵∠OAB+∠ABO=90°，∠ABO+∠CBE=90°，∠CBE+∠BCE=90°，
∴∠OAB=∠CBE，∠ABO=∠BCE，
在△AOB与△BEC中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{∠OAB=∠CBE}\\{AB=BC}\\{∠ABO=∠BCE}\end{array}\right.$，
∴△AOB≌△BEC，
同理可得，△AOB≌△BEC≌△DFA，
∴BE=DE=3，CE=AF=1，
∴C（4，1），D（3，4），
∵P为正方形ABCD的对称中心，
∴P是AC的中点，
∴P（ $\frac{0+4}{2}$，$\frac{3+1}{2}$），即（2，2），
∴D（3，4）、P（2，2）；

（2）如图2中，

∵P是正方形的对称中心，由A（0，3），C（4，1），
∴P（2，2）；
∴∠MOB=45°，
∴∠AON=45°，
∵点R从O出发沿OM方向以$\sqrt{2}$个单位每秒速度运动，运动时间为t，
∴OR=$\sqrt{2}$t，
∴∠DMR=∠ANO，
若△ANO与△DMR相似，则∠MDR=∠AON=45°或∠DRM=∠AON=45°，
①当∠MDR=45°时，R、P重合，
∵R（2，2），
∴t=2；
②当∠DRM=45°时，DR∥y轴，
∵D（3，4），
∴R（3，3），
∴t=3，
∴当t=2或t=3时，△ANO与△DMR相似．

（3）若以A、B、C、R为顶点的四边形是梯形，分三种情况：
①CR∥AB；此时R、M重合，
由C（4，1），D（3，4），可求得直线CD：y=-3x+13；
当x=y时，-3x+13=x，解得x=$\frac{13}{4}$；
即M（即R）点横坐标为$\frac{13}{4}$，H（$\frac{13}{4}$，0）；
故t=$\frac{13}{4}$；
同理可求得：
②AR∥BC时，t=$\frac{9}{2}$；
③BR∥AC时，t=$\frac{1}{3}$．
综上所述，当CR∥AB时，t=$\frac{13}{4}$，
当AR∥BC时，t=$\frac{9}{2}$，
当BR∥AC时，t=$\frac{1}{3}$．

点评 本题考查相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、正方形的性质、梯形的判定定理，解题的关键是灵活运用所学知识，学会用分类讨论的思想思考问题，注意不能漏解，属于中考压轴题．