Question

【题目】如图，BC⊥CA，BC＝CA，DC⊥CE，DC＝CE，直线BD与AE交于点F，交AC于点G，连接CF．

（1）求证：△ACE≌△BCD；

（2）求证：BF⊥AE；

（3）请判断∠CFE与∠CAB的大小关系并说明理由．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）∠CFE＝∠CAB，见解析

【解析】

（1）根据垂直的定义得到∠ACB＝∠DCE＝90°，由角的和差得到∠BCD＝∠ACE，即可得到结论；

（2）根据全等三角形的性质得到∠CBD＝∠CAE，根据对顶角的性质得到∠BGC＝∠AGE，由三角形的内角和即可得到结论；

（3）过C作CH⊥AE于H，CI⊥BF于I，根据全等三角形的性质得到AE＝BD，S△ACE＝S△BCD，根据三角形的面积公式得到CH＝CI，于是得到CF平分∠BFH，推出△ABC是等腰直角三角形，即可得到结论．

（1）证明：∵BC⊥CA，DC⊥CE，

∴∠ACB＝∠DCE＝90°，

∴∠BCD＝∠ACE，

在△BCD与△ACE中，

，

∴△ACE≌△BCD；

（2）∵△BCD≌△ACE，

∴∠CBD＝∠CAE，

∵∠BGC＝∠AGE，

∴∠AFB＝∠ACB＝90°，

∴BF⊥AE；

（3）∠CFE＝∠CAB，

过C作CH⊥AE于H，CI⊥BF于I，

∵△BCD≌△ACE，

∴，

∴CH＝CI，

∴CF平分∠BFH，

∵BF⊥AE，

∴∠BFH＝90°，∠CFE＝45°，

∵BC⊥CA，BC＝CA，

∴△ABC是等腰直角三角形，

∴∠CAB＝45°，

∴∠CFE＝∠CAB．